Bijection

Infos
Une fonction f:X\rightarrow Y\, est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout élément y de Y admet un unique antécédent x (par f). De manière équivalente, une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi appelées des applications biunivoques.
Bijection

Une fonction f:X\rightarrow Y\, est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout élément y de Y admet un unique antécédent x (par f). De manière équivalente, une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi appelées des applications biunivoques. Cantor a le premier démontré que, s'il existe une injection de X vers Y et une injection de Y vers X, alors il existe une bijection entre les deux ensembles (voir Théorème de Cantor-Bernstein). Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle \mathbb R, une fonction bijective f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point. Si X et Y sont des ensembles finis, alors il existe une bijection entre les deux ensembles X et Y ssi X et Y ont le même nombre d’éléments. La généralisation de cela aux ensembles infinis mène au concept de cardinal d’un ensemble, une façon de distinguer les différentes tailles d’ensembles infinis.

Définition formelle

Soit f une application de E dans F. f est bijective si et seulement si \forall y \in F, \, \exist! x \in E, \, f(x)=y

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).
- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
- L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
- Ces desiderata sont incompatibles si le nombre de touristes est différent du nombre de chambres. Dans le cas contraire, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : on dira alors que l'application est à la fois injective et surjective ; elle est bijective.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout nombre réel arbitraire donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l’équation y = 2x + 1 d’inconnue x à savoir x = (y − 1)/2. D’un autre côté, la fonction g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par g(x) = x2 n’est pas bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) g(1) = 1 = g(−1), et donc g n’est pas injective; la seconde est qu’il n’y a (par exemple) aucun nombre réel x tel que x2 = −1, et donc g n’est pas surjective non plus. L’une ou l’autre de ces constatations est suffisante pour montrer que g n’est pas bijective. D’autre part, si nous définissons la fonction h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+ par la même relation que g, mais avec les ensembles de définition et d’arrivée restreints à \mathbb R_+, alors la fonction h est bijective. L’explication est que, pour un nombre réel positif donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l’équation y = x2 qui est x = √y.

Propriétés

- Une fonction f:X\rightarrow Y\, est bijective si et seulement s’il existe une fonction g: Y → X telle que g\circ f soit l’application identité sur X et f\circ g soit l’application identique sur Y. Les bijections sont précisément les isomorphismes dans la catégorie des ensembles. Dans ce cas, g est déterminée de manière unique par f et nous appelons g l’application réciproque de f et nous écrivons f −1 = g. De plus, g est aussi une bijection, et la réciproque de g est f à nouveau.
- Si f o g est bijective, alors f est surjective et g est injective.
- Si f et g sont toutes deux bijectives, alors f o g est aussi bijective.
- Si X est un ensemble, alors les fonctions bijectives de X sur lui-même, forment avec l’opération de composition des applications (\circ), un groupe, le groupe des permutations de X, qui est noté indifféremment S(X), SX, σX ou σ(X).
- Le nombre de bijections entre deux ensembles de cardinal n est n !

Voir aussi

- Surjection
- Injection
- Théorème de la bijection catégorie:Théorie des ensembles bg:Биекция cs:Bijekce da:Bijektiv de:Bijektivität en:Bijection eo:Bijekcia es:Función biyectiva fi:Bijektio he:התאמה על hr:Bijekcija hu:Bijekció io:Bijektio it:Corrispondenza biunivoca ja:全単射 ko:전단사 함수 nl:Bijectie nn:Bijeksjon no:Bijeksjon oc:Bijeccion pl:Funkcja wzajemnie jednoznaczna pt:Função bijectiva ru:Биекция sk:Bijektívne zobrazenie sl:Bijektivna preslikava sr:Бијекција sv:Bijektiv uk:Бієкція zh:双射
Sujets connexes
Antécédent (mathématiques)   Application identité   Application réciproque   Ensemble   Ensemble d'arrivée   Ensemble de définition   Ensemble fini   Ensemble infini   Georg Cantor   Groupe (mathématiques)   Groupe symétrique   Injection (mathématiques)   Isomorphisme   Nombre cardinal   Nombre réel   Surjection   Théorie des catégories   Théorème de Cantor-Bernstein   Théorème de la bijection  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^