Nombre rationnel

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Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs, dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté \mathbb Q.
Nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs, dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté \mathbb Q.

Développement décimal

Comme tous les réels, les rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. Cette séquence est appelée : « période du développement décimal illimité ». Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’. En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent. Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le système décimal nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessus de la séquence périodique. Il est aussi possible de mettre un point au-dessus de chaque chiffre de la période, mais cette notation est beaucoup moins utilisée. Lorsqu'une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que d'une manière rigoureuse : :1 = 1, \underline... = 0, \underline... = 0, 99999... :\frac = 0, \underline... = \lim_x\rightarrow +\infty \left( \sum_^ \frac \right) Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ainsi, le nombre 0, 12\, 122\, 1222\, 12222...\, (où l'on a des séquences de ’2’ de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.

Rationnels, irrationnels

Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel. Ainsi, 2, 4\, qui peut s'écrire \frac est rationnel, de même que 13, \underline... qui correspond à \frac. Les nombres entiers sont tous rationnels. En revanche, la racine carrée de 2 est irrationnelle (voir la démonstration). L'ensemble des nombres réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels : tout réel est la limite d'une suite de rationnels.

Autres écritures

Les nombres rationnels compris entre 0 et 1 peuvent être écrits comme somme de fractions égyptiennes : :\frac = \frac + \frac :\frac = \frac + \frac + \frac Si le dénominateur d'une fraction est un produit de facteurs premiers différents, la fraction peut être décomposée en somme ou différence de fractions partielles : :\frac = \frac - \frac :\frac = \frac - \frac Les fractions partielles ont des dénominateurs plus simples, qui sont des puissances entières de nombres premiers.

De la notation décimale vers la notation fractionnaire

Il existe une méthode permettant de supprimer les décimales récurrentes d'un nombre rationnel pour l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers : : 178, \underline... = \frac = \frac 9 \times 178 = 178 : 178, \underline... = \frac = \frac : 178, \underline... = \frac = \frac : 178, \underline... = \frac = \frac Et lorsque la période est décalée : : 178, 10\underline ... = \frac 17810, \underline ... = \frac 100 \times 99 = \frac 100 \times 99 = \frac On peut prouver que 12, \underline... = 13 en procédant de la sorte : :12, \underline... = \frac = \frac = \frac 13 \times 9 = 13 Ou de façon plus intuitive : :0, \underline... = 9 \times 0, \underline = \times \frac\, ==
Sujets connexes
Adhérence (mathématiques)   Décimale récurrente   Développement décimal   Entier relatif   Fraction égyptienne   Nombre irrationnel   Nombre réel   Racine carrée   Suite (mathématiques)   Théorème  
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