Application réciproque

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En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ». L'application réciproque permet de retrouver un élément à partir de son image par une application donnée; autrement dit une application réciproque défait ce que l'application originale a fait.
Application réciproque

En mathématiques, une application réciproque est en des termes simples une fonction qui « fait exactement l'inverse de ce que fait une application donnée ». L'application réciproque permet de retrouver un élément à partir de son image par une application donnée; autrement dit une application réciproque défait ce que l'application originale a fait.

Exemple

Considérons la fonction f : x \mapsto 3x+2. On pose : :y = 3x + 2 On inverse le couple (x, y) : :x = 3y + 2 Et on isole y : :x - 2 = 3y \Leftrightarrow \frac = y L'application réciproque est donc : :f^ : x \mapsto \frac L'exposant « -1 » n'est pas une puissance et f^ ne correspond pas à l'inverse d'une fonction pour la multiplication, mais à l'inverse pour la composition de fonctions. On trouve aussi les notations ^r\!f et f^r qui lèvent cette ambiguïté. En fait, pour qu'une fonction f admette une application réciproque, elle doit être bijective :
- chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint par f : sinon il n'y aurait pas de moyen de définir l'image par f^ de certains éléments.
- chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint une seule fois par f : sinon l'application réciproque enverrait cet élément sur plus qu'une seule valeur.

Définition formelle

Formellement, l'application réciproque d'une application bijective f d'un ensemble X sur un ensemble Y, est l'application notée f-1 qui à un élément y de l'ensemble d'arrivée Y, associe l'unique antécédent x de y par f.
-pour tout x de X, f^(f(x)) = x\, , car f(x) a pour unique antécédent x
-pour tout y dans Y, f(f^(y)) = y\, , car f envoie l'unique antécédent de y sur y. Ce que nous pouvons écrire : f^\circ f=\rm Id_ et f\circ f^=\rm Id_. Il est possible de définir l'application réciproque d'une fonction pas forcément bijective, en considérant l'application g de même ensemble de définition que f dont l'ensemble d'arrivée est restreint à l'image de f et qui envoie un élément sur l'image de cet élément par f; l'application réciproque est alors l'application multiforme qui à un élément de l'image de f associe ses antécédents par f. Soient I et J deux parties de \R et f:I\rightarrow J\, une fonction bijective. Si nous représentons graphiquement la fonction f dans un repère cartésien, alors le graphe de f^ est le symétrique orthogonal de celui de f par rapport à la droite d'équation y = x. Algébriquement, nous déterminons l'application réciproque de f en résolvant l'équation :y = f(x) d'inconnue x, et en échangeant y et x pour obtenir :y = f^(x). Cela n'est pas toujours facile ou possible. Si la fonction f est analytique, alors le théorème d'inversion de Lagrange peut être utilisé.

Dérivation

Soit f une bijection de I dans J. Si f admet une dérivée f' non nulle sur I, alors sa fonction réciproque f^ a pour dérivée: :(f^)' : \beginJ &\rightarrow & I \\ x & \mapsto & \frac(f' \circ f^)(x) \end Démonstration: Pour tout x de J, :(f \circ f^)(x) = x En dérivant des deux cotés: :(f' \circ f^)(x) (f^)'(x) = 1 Soit :(f^)' = \frac(f' \circ f^)(x) On remarque ainsi aisément la nécessité d'avoir f' non nulle, sinon on se retrouverait avec une division par 0.

Voir aussi

- Fonction (mathématiques)
- Correspondance et relation
- Graphe d'une fonction Catégorie:Théorie des ensembles Catégorie:Analyse bs:Inverzna funkcija ca:Funció inversa cs:Inverzní zobrazení da:Invers funktion de:Umkehrfunktion en:Inverse function es:Función recíproca fi:Käänteisfunktio he:פונקציה הפיכה hr:Inverzna funkcija hu:Inverz függvény io:Simetra elemento is:Andhverfa it:Funzione inversa ko:역함수 no:Invers funksjon pl:Funkcja odwrotna pt:Função inversa ru:Обратная функция simple:Inverse function sv:Invers funktion uk:Обернена функція zh:反函數
Sujets connexes
Antécédent (mathématiques)   Bijection   Composition de fonctions   Correspondance et relation   Couple (mathématiques)   Ensemble d'arrivée   Exposant (mathématiques)   Fonction analytique   Graphe d'une fonction   Mathématiques   Théorème d'inversion de Lagrange  
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