Anneau factoriel

En théorie des anneaux, un anneau factoriel est un anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout élément non nul possède une décomposition unique en facteurs irréductibles.

Définition

Un anneau A est factoriel si et seulement si il est commutatif unitaire intègre et :pour tout a de A non nul, il existe u élément inversible, p1, p2, ..., pn, n éléments irréductibles tels que a = u.p1 p2...pn. La décomposition est unique aux inversibles près et à l'ordre près. On reconnaît là une généralisation aux anneaux de la propriété dans N qui stipule que tout entier naturel non nul se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers (Théorème fondamental de l'arithmétique). Cette notion d'unicité est importante à saisir : si deux éléments irréductibles sont associés ( i.e. l'un est le produit de l'autre par un élément inversible), ils peuvent apparaître dans deux décompositions d'apparences différentes de a. Mais ces deux décompositions seront dites identiques à un inversible près. La relation \mathcal R définie par x \mathcal R y ssi x et y sont associés est une relation d'équivalence. Si p est irréductible, tous les éléments de la classe de p sont aussi irréductibles. On peut alors choisir une famille de représentants des éléments irréductibles I. La propriété précédente peut alors s'écrire : : pour tout a de A non nul, il existe un unique élément inversible u et une unique application v de I dans N tels que ::a =u \prod_p\in Ip^ où les v_p(a) sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. L'exposant de p est appelé la valuation p-adique de a.

Exemples et contre-exemples

-L'anneau Z est évidemment le premier exemple d'anneau factoriel. Mais on trouve aussi l'anneau de Gauss Z des complexes s'écrivant sous la forme a + ib où a et b sont des entiers relatifs.
-Si K est un corps alors l'ensemble K des polynômes à coefficient dans K est un anneau factoriel, ainsi que K. Plus généralement, dès que A est factoriel, il en est de même de A.
-On démontre que tout anneau euclidien ou tout anneau principal est aussi factoriel
- Le contre-exemple le plus célèbre est l'anneau non-factoriel \mathbb Z dans lequel on trouve deux décompositions différentes de 4 : 4 = 2 \times 2 = (1 + i\sqrt)(1 - i\sqrt) . Propriété qui donna l'occasion à Leonhard Euler de présenter une démonstration fausse du dernier théorème de Fermat pour n = 3 (Algebra 1770) et qui suscita chez Ernst Kummer la création des nombres idéaux et celle chez Richard Dedekind de la notion d'idéal.
- Un contre-exemple "géométrique" est celui du quotient de K par l'idéal engendré par X^2 -YZ. Soit p l'application de passage au quotient. p(X^2) admet deux décompositions distinctes en facteurs irréductibles : on a p(X^2)=p(X)p(X) mais aussi p(X^2)= p(Y)p(Z)

Propriétés des anneaux factoriels

-Dans un anneau factoriel, les nombres premiers sont confondus avec les nombres irréductibles.
-La propriété d'unicité de la décomposition est équivalente au lemme d'Euclide (si p est irréductible et si p divise a.b alors p divise a ou p divise b) et au théorème de Gauss (si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c)
- Dans un anneau factoriel, on peut définir un ppcm (plus petit commun multiple) de a et de b et un pgcd (plus grand commun diviseur) de a et de b en prenant pour la valuation p-adique du ppcm le sup des valuations p-adique de a et b et pour la valuation p-adique du pgcd l'inf des valuations p-adiques. Il est bon de rappeler que ppcm et pgcd ne sont définis qu'à un inversible près.
- le pgcd et le ppcm confèrent à l'ensemble A/\mathcal R où \mathcal R est la relation « être associé » une structure de treillis
- ppcm(a, b).pgcd(a, b) = ab à un inversible près
- Si (a) est l'idéal engendré par a et (b) celui engendré par b, on a (a) \cap (b) = (ppcm(a, b))
- En revanche, il faudra attendre d'être dans un anneau principal pour avoir (a) + (b) = (pgcd(a, b))
- Si A est un anneau factoriel, il en est de même de l'anneau A des polynômes sur A.

Voir aussi

- Anneau pour toutes les définitions non liées
- Anneau principal
- Anneau euclidien
- chapitre 2 pour les démonstrations catégorie:anneau de:Faktorieller Ring en:Unique factorization domain it:Anello a fattorizzazione unica ja:素元分解整域 nl:Uniek factorisatiedomein pl:Pierścień z jednoznacznością rozkładu zh:唯一分解域