En théorie des anneaux, un anneau factoriel est un anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout élément non nul possède une décomposition unique en facteurs irréductibles.
Définition
Un anneau A est factoriel si et seulement si il est commutatif unitaire intègre et :pour tout a de A non nul, il existe u élément inversible, p1, p2, ..., pn, n éléments irréductibles tels que a = u.p1 p2...pn. La décomposition est unique aux inversibles près et à l'ordre près. On reconnaît là une généralisation aux anneaux de la propriété dans N qui stipule que tout entier naturel non nul se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers (Théorème fondamental de l'arithmétique). Cette notion d'unicité est importante à saisir : si deux éléments irréductibles sont associés ( i.e. l'un est le produit de l'autre par un élément inversible), ils peuvent apparaître dans deux décompositions d'apparences différentes de a. Mais ces deux décompositions seront dites identiques à un inversible près. La relation \mathcal R définie par x \mathcal R y ssi x et y sont associés est une relation d'équivalence. Si p est irréductible, tous les éléments de la classe de p sont aussi irréductibles. On peut alors choisir une famille de représentants des éléments irréductibles I. La propriété précédente peut alors s'écrire : : pour tout a de A non nul, il existe un unique élément inversible u et une unique application v de I dans N tels que ::a =u \prod_p\in Ip^ où les v_p(a) sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. L'exposant de p est appelé la valuation p-adique de a. Exemples et contre-exemples
-L'anneau Z est évidemment le premier exemple d'anneau factoriel. Mais on trouve aussi l'anneau de Gauss Z des complexes s'écrivant sous la forme a + ib où a et b sont des entiers relatifs.
-Si K est un corps alors l'ensemble K des polynômes à coefficient dans K est un anneau factoriel, ainsi que K. Plus généralement, dès que A est factoriel, il en est de même de A.
-On démontre que tout anneau euclidien ou tout anneau principal est aussi factoriel
- Le contre-exemple le plus célèbre est l'anneau non-factoriel \mathbb Z dans lequel on trouve deux décompositions différentes de 4 : 4 = 2 \times 2 = (1 + i\sqrt)(1 - i\sqrt) . Propriété qui donna l'occasion à Leonhard Euler de présenter une démonstration fausse du dernier théorème de Fermat pour n = 3 (Algebra 1770) et qui suscita chez Ernst Kummer la création des nombres idéaux et celle chez Richard Dedekind de la notion d'idéal.
- Un contre-exemple "géométrique" est celui du quotient de K par l'idéal engendré par X^2 -YZ. Soit p l'application de passage au quotient. p(X^2) admet deux décompositions distinctes en facteurs irréductibles : on a p(X^2)=p(X)p(X) mais aussi p(X^2)= p(Y)p(Z) Propriétés des anneaux factoriels
-Dans un anneau factoriel, les nombres premiers sont confondus avec les nombres irréductibles.
-La propriété d'unicité de la décomposition est équivalente au lemme d'Euclide (si p est irréductible et si p divise a.b alors p divise a ou p divise b) et au théorème de Gauss (si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c)
- Dans un anneau factoriel, on peut définir un ppcm (plus petit commun multiple) de a et de b et un pgcd (plus grand commun diviseur) de a et de b en prenant pour la valuation p-adique du ppcm le sup des valuations p-adique de a et b et pour la valuation p-adique du pgcd l'inf des valuations p-adiques. Il est bon de rappeler que ppcm et pgcd ne sont définis qu'à un inversible près.
- le pgcd et le ppcm confèrent à l'ensemble A/\mathcal R où \mathcal R est la relation « être associé » une structure de treillis
- ppcm(a, b).pgcd(a, b) = ab à un inversible près
- Si (a) est l'idéal engendré par a et (b) celui engendré par b, on a (a) \cap (b) = (ppcm(a, b))
- En revanche, il faudra attendre d'être dans un anneau principal pour avoir (a) + (b) = (pgcd(a, b))
- Si A est un anneau factoriel, il en est de même de l'anneau A des polynômes sur A. Voir aussi
- Anneau pour toutes les définitions non liées
- Anneau principal
- Anneau euclidien
- chapitre 2 pour les démonstrations catégorie:anneau de:Faktorieller Ring en:Unique factorization domain it:Anello a fattorizzazione unica ja:素元分解整域 nl:Uniek factorisatiedomein pl:Pierścień z jednoznacznością rozkładu zh:唯一分解域