Anneau euclidien

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Euclide (d'après une peinture du siècle) En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire intègre. Un anneau est dit euclidien si, et seulement si, il est possible de définir une division euclidienne. Cette propriété est riche de conséquences, un anneau euclidien est toujours principal, il vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Eucli
Anneau euclidien

Euclide (d'après une peinture du siècle) En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire intègre. Un anneau est dit euclidien si, et seulement si, il est possible de définir une division euclidienne. Cette propriété est riche de conséquences, un anneau euclidien est toujours principal, il vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique. Une telle structure est riche en théorèmes car il est possible d'y construire une arithmétique et particulièrement une arithmétique modulaire.

Histoire

Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Origine

La première référence ayant influencé le monde mathématique sur la question de la division euclidienne est le livre VIIEuclide Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide : plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant traduction de 1632, site Gallica, des Éléments d'Euclide datant d'environ 300 ans avant J.-C.. On y trouve la première construction théorique de la division et l'étude de ses conséquences. Cette branche des mathématiques prend le nom d' Arithmétique. Certains mathématiciens comme Diophante d'AlexandrieDiophante d'Alexandrie Arithmetica éd. et tr. Roshdi Rashed. Paris : les Belles Lettres, 1984 (env. 200/214 - env. 284/298) ou Pierre de FermatPierre de Fermat Œuvres de Fermat, publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du Ministère de l'instruction publique. Ann Arbor, Michigan 2005 (1601 - 1665) comprennent l'extraordinaire richesse de cette branche des mathématiques. Ils établissent quelques résultats comme le petit théorème de Fermat et formulent des conjectures comme le théorème des deux carrés de Fermat ou le grand théorème de Fermat. Au , certaines sont démontrées. On peut citer Leonhard EulerLeonhard Euler Opera mathematica volume 3 1771 (1707 - 1783) avec le théorème des deux carrés, ou le cas n égal à trois du grand théorème de fermat, presque traité en 1753. D'autres conjectures comme celle de la loi de réciprocité quadratique apparaissent. Ces résultats sont pour l'essentiel démontrés grâce à une virtuosité remarquable de la part des mathématiciens, mais l'apport théorique est faible, en conséquence les résultats sont peu généralisables. Il existe néanmoins une exception notable avec les formes quadratiques de Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) en 1775.

Emergence du concept

Carl Friedrich Gauss En 1801 Carl Friedrich GaussCarl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques traduction A.-C.-M. Poullet-Delisle 1801 traduction 1807 reprint 1989 Editions Jacques Gabay (1777 - 1855) découvre le premier anneau de nombres algébriques, au-delà de celui des nombres entiers, celui des entiers qui portent maintenant son nom. Cet anneau possède une division euclidienne, et en conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, et surtout le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. De même, l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif, dispose aussi d'une division euclidienne. Gauss y construit donc une arithmétique analogue aux précédentes. Cette approche est utilisée pour d'autres entiers algébriques, par exemple par Ferdinand EisensteinFerdinand Eisenstein Formes quadratiques et cubiques Journal de Crelle 1844 (1823 - 1852) qui découvre l'ensemble des nombres appelés entiers d'Eisenstein et qui dispose d'une division euclidienne. L'apport d'une division euclidienne à une structure est une démarche féconde. Gauss s'en sert pour une de ses démonstrations de la loi de réciprocité quadratique, des progrès tangibles sont réalisés pour la résolution du grand théorème de Fermat. Le cas n égal à trois devient parfaitement rigoureux. Les cas n égal à cinq, puis quatorze, puis sept, sont démontrés, avec l'apport massif d'autres idées. L'application de la décomposition en facteurs premiers aux polynômes cyclotomiques permet à Gauss de trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas, l'heptadécagone ou polygone régulier à dix-sept cotés. L'idée est si novatrice et fructueuse que le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique sont parfois rebaptisés lemme de Gauss et théorème de Gauss. Le livre d'arithmétique de Gauss vaut rapidement à son auteur, le surnom de prince des mathématiciens.

Formalisation

Paradoxalement la formalisation moderne provient des limitations des arithmétiques précédentes. Par une démarche utilisant la notion d'anneau d'entiers, Gabriel Lamé (1795 - 1870) pense qu'il a démontré le grand théorème de Fermat. Ernst Kummer (1810 - 1893) montre par un exemple en 1844 qu'un anneau d'entiers ne dispose pas, en général, d'une décomposition unique en facteurs premiers. Ce résultat invalide la preuve de Lamé. Kummer découvre en 1846 un nouveau concept qu'il baptise nombre complexe idéal pour retrouver sous une nouvelle forme l'unicité nécessaire. Ces travaux ouvre la voie à la formalisation de la structure d'anneau. On peut citer Richard DedekindRichard Dedekind Lehrbuch des Algebra 1871 (1831 1916) et David HilbertDavid Hilbert Rapport sur les nombres1897 (1862 1943) parmi les principaux contributeurs. Un anneau euclidien devient un cas particulier simple d'une vaste théorie, la théorie des anneaux.

Exemples

Entiers relatifs

Illustration de l'irrationnalité de √2. Les entiers relatifs forment le prototype de l'anneau euclidien: \forall (a, b)\in\mathbb\times\mathbb^
-, \exists q, r\in\mathbb\quad / \quad a=bq+r \quad avec \quad |r| < |b| On reconnait là la forme de la division euclidienne dans l'ensemble des entiers naturels \mathbb pour laquelle |n| = n. On peut remarquer toutefois que, d'une part \mathbb n'est pas un anneau, d'autre part il n'est pas précisé ici l'unicité de q et r. Ceci s'explique par le fait que, pour pouvoir prolonger à \mathbb (ensemble des entiers relatifs) la définition de la division dans \mathbb, il faut, ou bien fixer une condition supplémentaire sur b (b > 0) restreignant ainsi le champ de validité de la division euclidienne, ou bien accepter de prendre b négatif et prendre pour définition a = bq + r avec |r| < |b|. Mais alors on peut trouver deux décompositions possibles : : 19 = (- 5) × (- 3) + 4 avec |4| < |-5| mais aussi 19 =(- 5) × (- 4) + (-1) avec |-1| < |-5| Cette division permet de bâtir une arithmétique vérifiant les propriétés suivantes : :
- Les idéaux des entiers sont les ensembles de multiples (de la forme n\mathbb). L'anneau est dit principal. :
- L'identité de Bézout est vérifiée. :
- Le lemme d'Euclide est vérifiée. :
- Le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique. En conséquence, il est possible de définir : la famille des nombres premiers, le ppcm ainsi que le pgcd. L'anneau quotient \mathbb/n\mathbb est bien défini, il est la structure à la base de l'arithmétique modulaire. La première application connue est probablement la démonstration de l'irrationalité de la racine carrée de deux. Le petit théorème de Fermat se démontre rapidement une fois établi le fait que si n est premier \mathbb/n\mathbb dispose d'une structure de corps. Fermat utilise largement cette arithmétique, par exemple pour démontrer l'absence de solution pour son grand théorème si n est égal à quatre. Euler donne une large quantité d'exemples d'utilisation de l'arithmétique dans \mathbb, comme l'étude exhaustive de l'équation de Pell. Ces résultats sont les propriétés qui ont motivé la création de la notion abstraite d'anneau euclidien. En effet, toutes ces propriétés ne sont les conséquences que d'une seule, la division euclidienne.

Polynômes à coefficients dans un corps commutatif

Évariste Galois initiateur de la théorie portant son nom Si un corps K est commutatif, alors l'anneau des polynômes K est euclidien. La division prend la forme suivante : \forall A, B\in\mathbb \quad \exists ! Q, R\in\mathbb\; / \quad A=BQ+R \; avec \; deg R < deg B Si la forme est globalement analogue à celle des entiers, on remarque néanmoins qu'une relation d'ordre sur l'ensemble K n'est pas nécessaire. Il suffit d'une application, analogue à celle qui, à un polynôme associe son degré, et dont l'ensemble d'arrivée est ordonné. Construction d'un pentagone L'arithmétique se fonde sur les mêmes conséquences, l'anneau est principal, l'identité de Bézout est vérifiée, le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. Les équivalents des nombres premiers sont les polynômes irréductibles, c’est-à-dire ceux qui n'ont pour diviseurs qu'eux mêmes ou l'unité à une constante multiplicative près. La décomposition en polynômes irréductibles est la factorisation la plus complète possible. L'équivalent de l'arithmétique modulaire se focalise sur les anneaux quotientés par des idéaux premiers (c’est-à-dire des idéaux engendrés par des polynômes irréductibles). Comme précédemment ces idéaux possèdent une structure de corps. Les quotients sont appelés corps de rupture car se sont les plus petits corps contenant une racine du polynôme. Cette approche, permettant de définir une extension finie du corps K définit l'outil de base de la théorie de Galois. Un exemple d'application est le suivant : les polynômes cyclotomiques correspondent à la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme des racines de l'unité X^n-1. L'analyse de ces polynômes permet de déterminer tous les polygones constructibles à la règle et au compas.

Entiers de Gauss

right Les entiers de Gauss noté Z correspondent aux nombres de la forme u + i.v ou u et v sont choisis entiers. Ils forment un anneau euclidien, la définition est donnée par la proposition suivante, si N(x) désigne la norme algébrique c’est-à-dire la somme du carré de la partie entière et du carré de la partie imaginaire : \forall (a, b)\in\mathbb(i)\times \mathbb(i)^
-\; \exists q, r\in\mathbb(i)\quad / \quad a=b.q+r \quad avec \quad N(r) < N(b) L'application qui à un entier associe sa norme algébrique est bien une application des entiers de Gauss dans un ensemble ordonné, à savoir celui des entiers positifs. Cette norme correspond graphiquement au carré de la distance entre l'origine et l'entier de Gauss. Dire que la division euclidienne existe signifie que qu'il existe un entier de Gauss à une distance inférieure à 1 du nombre complexe a/b. La figure ci-jointe illustre par un fond rouge le carré de sommet des entiers de Gauss et contenant a/b. La figure montre qu'il existe toujours au moins un entier à une distance inférieure à 1 de a/b. Dans le cas illustré, il en existe trois vérifiant cette propriété. L'unicité de la solution n'est pas une condition nécessaire à l'existence d'une division euclidienne. Une fois encore, la division euclidienne apporte une arithmétique analogue aux deux cas précédents. Les applications sont nombreuses. Dedekind a, par exemple, trouvé une preuve élégante du théorème des deux carrés de Fermat à partir de cet ensemble. En règle général, les équations diophantiennes quadratiques se résolvent bien dans cet ensemble. Gauss a utilisé cette arithmétique pour démontrer la loi de réciprocité quadratique. En règle générale, un ensemble de cette nature, appelé anneau d'entiers algébriques, n'a pas de division euclidienne. Ainsi, \mathbb Z n'est pas euclidien.

Autres anneaux euclidiens

On connait tous les anneaux d'entiers quadratiques euclidiens pour la norme induite par la norme de \mathbb. En revanche, une question ouverte est de savoir s'il existe une infinité d'anneaux d'entiers algébriques euclidiens.
- Si K est un corps commutatif, KX l'anneau de ses séries formelles est aussi euclidien pour la valuation: v(P) = plus petit degré de X dans P.
- Si A est un anneau euclidien et si S est une partie de A stable pour la multiplication. La localisation de A par rapport à S est aussi un anneau euclidien.

Définitions

Soit A un anneau commutatif unitaire et intègre. :
- Un stathme euclidien est une application v de A - dans l'ensemble des entiers positifs N, tel que si a et b sont deux éléments de A tel que b divise a, alors v(b) \scriptstyle \leq v(a). Cette application sert de mesure pour la division euclidienne. :
- Un stathme euclidien v définit une division euclidienne si, et seulement si : \forall (a, b)\in A \times A - \ 0 \ \; , \; \exists q, r\in A \quad / \quad a = b.q + r \quad avec \quad r = 0 \; ou\; v(r) < v(b) :
- Un anneau est un anneau euclidien si, et seulement s'il existe un stathme euclidien définissant une division euclidienne. La propriété du stathme n'est pas toujours considérée comme nécessaire pour la définition d'un anneau euclidien.

Premières propriétés

Dans la suite de l'article A est un anneau commutatif unitaire et intègre, v une valuation définissant une division euclidienne. :
- Un anneau euclidien est toujours principal. Plus précisément, n'importe quel élément de valuation minimale parmi les éléments de l'idéal est un générateur de l'idéal. C'est une conséquence directe de la propriété de division euclidienne. Les trois propriétés suivantes sont valables pour tout anneau principal, donc en particulier pour un anneau euclidien : :
- Un anneau principal vérifie l'identité de Bézout : si a et b sont deux éléments de A n'ayant pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités de l'anneau, alors il existe u et v éléments de l'anneau tels que a.u + b.v = 1. :
- Si a est premier, alors A/a.A est un corps. :
- Un anneau principal vérifie le lemme d'Euclide : soient a, b et c trois éléments de A tel que a divise b.c et tel qu'il n'existe pas d'autres diviseurs commun à a et à b que les éléments du groupe des unités. Alors a est un diviseur de c.

Arithmétique

Stathme euclidien

Pour chacun des trois exemples développés dans l'article, il existe une application de mesure du reste associées à la division euclidienne. Elles sont respectivement la valeur absolue, le degré du polynôme et la norme algébrique. Ces applications v vérifient toutes les trois propriétés suivantes : : elles sont à valeurs dans les entiers positifs : si a et b sont des éléments non nuls de l'anneau, alors v(a.b)=v(a) + v(b) : v(a) est égal à zéro si, et seulement si, a est un élément du groupe des unités de l'anneau. Une telle application est appelée une valuation de l'anneau. Pour obtenir un anneau euclidien, cette condition est suffisante, mais elle n'est pas nécessaire. Les propriétés du stathme permettent de démontrer l'existence d'une décomposition en facteur premier. Pour comprendre la nécessité d'une telle propriété, il suffit de considérer l'anneau A Z/P ou P = 2.X - 1. Cet anneau est l'anneau engendré par 1/2, il n'est néanmoins pas égal au corps des nombres di-adiques car aucune complétion n'est pas ici réalisée. Alors 1/2 n'est pas décomposable en nombres premiers. Il est possible de remarquer que si v est le stathme d'un anneau euclidien alors: :
- Soit a et b deux éléments de A alors si v(a.b) = v(a), alors b est un élément du groupe des unités. Il est toujours possible de normaliser le stathme par la translation v'(x) = v(x) - v(1) + 1 où x est un élément non nul de A, dans ce cas : :
- Un élément non nul u de A est élément du groupe de l'unité si, et seulement si, v(u) = 1. De plus, 1 est la valeur minimal que prend v.

Définitions

Il est alors temps de définir les notions habituelles à l'arithmétique des anneaux euclidiens : :
- Un élément p de A est appelé
premier' si, et seulement si, l'idéal p. A est premier, c’est-à-dire qu'il est différent de A et si x.y est élément de p.A, alors soit x soit y est élément de p.A. Ici x et y désigne deux éléments quelconque de A. :
- Soit a et b deux éléments de A alors un plus petit commun multiple de a et de b est un générateur de l'idéal intersection de a.
A et de b.A. :
- Soit a et b deux éléments de A alors un plus grand commun diviseur de a et de b est un générateur de l'idéal engendré par a et b. Les définitions choisies ici possèdent l'avantage d'exister dans tous les anneaux. Le fait d'être dans un anneau euclidien ajoute certaines propriétés. Par exemple comme l'anneau est principal, tout idéal premier est maximal, et p est premier si et seulement si il n'admet pas d'autres diviseurs que lui-même et 1, au groupe de l'unité près. l'existence et l'unicité au groupe de l'unité près des ppcm et pgcd sont aussi garanties. Dans le cas des anneaux principaux, un élément est premier si et seulement si il est irréductible. Un élément p est dit irréductible si et seulement si quelque soit a et b de A p = a.
b implique que soit a soit b soit élément du groupe des unités. Pour aller plus loin, il est nécessaire d'établir le théorème fondamental de l'arithmétique.

Théorème fondamental de l'arithmétique

:
- Soit A un anneau euclidien, alors chaque élément de A peut être écrit comme un produit d'éléments premiers aux éléments inversibles près d'une unique façon. L'expression aux éléments inversibles près signifie que la subsitution d'un facteur irréductible par un autre facteur irréductible ne différent que par le produit d'un élément du groupe de l'unité n'est pas considérée comme une décomposition différente. Ainsi, pour tout a de A non nul, il existe un élément inversible u et pi éléments premiers tels que : a =u \prod_^n p_i^ Où \scriptstyle désigne l'application qui à un élément a associe la puissance de l'élément premier pi qui figure dans la décomposition en éléments premiers de a. Cette application s'appelle la valuation p-adique de pi. Dans les trois exemples de l'article, les éléments premiers sont : les nombres premiers, les polynômes irréductible ou les nombres premier de Gauss. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que l'anneau est principal et que tout anneau principal est factoriel (cf anneau principal).
Remarque : Si l'anneau dispose d'un stathme et d'une division euclidienne construite à partir du stathme, il est possible d'adapter la démonstration du théorème fondamental de l'arithmétique pour le cas général des anneaux euclidiens.

Conséquences

:
- Un anneau euclidien est noethérien: En conséquence toute chaîne croissante d'idéaux est stationnaire à partir d'un certain rang. Une autre manière de décrire cettte propriété revient à dire que toute famille non vide d'idéaux possède un élément maximal pour l'inclusion. :
- Tout anneau euclidien est anneau factoriel: En conséquence, il existe une décomposition en facteurs premiers uniques (au groupe des unités près). les éléments premiers et irréductibles sont confondus, les pgcd et ppcm existent toujours est sont uniques (au groupe des unités près). Le lemme d'Euclide ainsi que l'identité de Bézout sont vérifiés. :
- Un anneau euclidien est principal: Pour déterminer un pgcd de deux éléments, on peut utiliser un algorithme d'Euclide : si a = bq + r , un pgcd de (
b , r) est aussi un pgcd de (a , b''). v(r) étant inférieur v(b), on est assuré que la méthode a une fin : le reste finit par être nul.

Voir aussi

Notes

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Sujets connexes
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