Suite géométrique

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En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur \n \in \mathbb N, n \geq n_0\ à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de \ E appelé raison pour lequel : :\forall n \geq n_0 \ \ \ u_ =q.u_n \, On dit alors que les termes \ u_n sont en « progression géométrique ». Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de
Suite géométrique

En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur \n \in \mathbb N, n \geq n_0\ à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de \ E appelé raison pour lequel : :\forall n \geq n_0 \ \ \ u_ =q.u_n \, On dit alors que les termes \ u_n sont en « progression géométrique ». Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans E = \R ou \mathbb C. Exemple Si la raison \ q=1, 1 et \ u_0=10 :
- \ u_1=11
- \ u_2=12, 1
- \vdots

Champ d'applications

La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomène à croissance ou décroissance exponentielle et l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période). :Exemple : Le carbone 14 14C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 an près). Cela signifie que, en cas de fermeture d'un système (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié tous les 5730 ans. :Si N est la quantité de 14C dans le système, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de 14C . Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on appelle N_n la quantité d'atomes 14C au bout de n périodes, la suite (N_n ) est une suite géométrique de raison 1/2. On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés. :Exemple :Un capital C_0 placé à 5% rapporte au bout d'un an 0, 05 \times C_0 d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital C_1 = 1, 05\times C_0 . En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1, 05 car C_ = 1, 05 \times C_n On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne) Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.

Terme général

Si E est un corps et si (u_n )_n\in\mathbb N est une suite géométrique de E de raison q\in E alors, pour tout n\in\mathbb N : :u_n = u_0 q^n\, Plus généralement, si la suite est définie sur \n \in \mathbb N, n \geq n_0\ et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors : :u_n = u_p q^ \, Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u_ et par sa raison q. Réciproquement, une suite définie sur \n \in \mathbb N, n \geq n_0\ par :u_n = u_ q^ \, est une suite géométrique de raison q.

Sens de variation et convergence

On supposera u_ et q non nul.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans \R.
-si q < 0\, la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs.
- si q \in ]0 ; 11 ; + \infty[
- si u_> 0 la suite est croissante positive
- si u_< 0 la suite est décroissante négative
- si q = 1\, la suite est constante.

Convergence

Dans \R
- si q < -1\, , la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans \bar\R les valeurs d'adhérence sont + \infty et -\infty.
- si q = - 1\, , la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence u_ et - u_
- si |q| < 1\, , la suite converge vers 0
- si q = 1\, , la suite est constante et converge vers u_
- si q > 1\, , la suite est divergente mais possède une limite égale à
- + \infty pour u_>0
- - \infty pour u_
Sujets connexes
Atome   Carbone 14   Corps (mathématiques)   Croissance exponentielle   Demi-vie   Exponentielle   Gamme pythagoricienne   Intérêts composés   Mathématiques   Musicologie   Quinte   Raison d'une suite   Suite (mathématiques)   Série géométrique  
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