Matrice symétrique

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Matrice symétrique

Définitions

- En algèbre linéaire, une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa propre transposée. Ainsi A est symétrique si : :^tA = A\, ce qui exige que A soit une matrice carrée. Intuitivement, les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite). Exemple : :\begin 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 5\\ 3 & 5 & 6\end
- L'ensemble des matrices symétriques à coefficients dans un anneau K est noté S_n(K).
- Toute matrice diagonale est symétrique, puisque tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
- Un théorème fondamental concernant de telles matrices est le théorème spectral en dimension finie, qui énonce que les matrices symétriques dont les coefficients sont des nombres réels sont diagonalisables à l'aide de matrices orthogonales.
- Remarque : il existe des matrices symétriques non diagonalisables à coefficients complexes. Exemple : :\begin 1 & i\\ i & -1\end En effet, cette matrice admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle.

Interprétations

- En algèbre bilinéaire, une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique ssi cette dernière est symétrique.
- Dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est auto-adjoint.

Matrices symétriques positives

Définitions

- Une matrice symétrique réelle est positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire positive.
- L'ensemble des matrices symétriques positives d'ordre n est noté S_n^+(\R)
- Autrement dit : : \forall S\in S_n(\R), \ S\in S_n^+(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_(\R), \ ^tXSX\ge 0
- Une matrice symétrique réelle est strictement positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire strictement positive.
- L'ensemble des matrices symétriques strictement positives d'ordre n est noté S_n^(\R)
- En clair, : \forall S\in S_n(\R), \ S\in S_n^(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_(\R)\setminus\0\, \ ^tXSX > 0

Propriétés

- Une matrice symétrique est positive si et seulement si ses valeurs propres (qui sont automatiquement réelles) sont positives.
- Une matrice symétrique est strictement positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
- Pour toute matrice réelle A, la matrice ^tAA est une matrice symétrique positive. De plus si A est une matrice carrée inversible, ^tAA est strictement positive.
- Toute matrice symétrique positive admet une unique racine carrée symétrique positive, en clair : : \forall S\in S_n^+(\R), \ \exist ! T\in S_n^+(\R), \ T^2=S. Ce résultat se généralise aux racine nièmes.

Utilisations concrètes

- Une matrice symétrique de dimension 3 représente une conique en coordonnées homogènes dans un plan projectif construit à partir de \mathbb C^3\, \backslash\, \(0, 0, 0)\.

Voir aussi

-matrice
-matrice antisymétrique Symétrique ca:Matriu simètrica da:Symmetrisk matrix de:Symmetrische Matrix en:Symmetric matrix es:Matriz simétrica fi:Symmetrinen matriisi hu:Szimmetrikus mátrix it:Matrice simmetrica ja:対称行列 nl:Symmetrische matrix pl:Macierz symetryczna pt:Matriz simétrica ru:Симметричная матрица sv:Symmetrisk matris th:เมทริกซ์สมมาตร uk:Симетрична матриця ur:متناظر میٹرکس zh:對稱矩陣
Sujets connexes
Algèbre linéaire   Conique   Coordonnées homogènes   Diagonalisation   Forme bilinéaire   Matrice (mathématiques)   Matrice antisymétrique   Matrice diagonale   Matrice orthogonale   Nombre complexe   Nombre réel   Plan projectif   Théorème spectral   Valeur propre (synthèse)  
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