Conique

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Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.
Conique

Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.

Définition purement géométrique euclidienne

Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution. Intersection d'un plan et d'un cône de révolution Selon les positions relatives du plan et du cône, on obtient différents types de coniques :
- les coniques propres, quand le plan n'est pas perpendiculaire à l'axe du cône, et ne passe pas par son sommet. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône :
- si cet angle est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse;
- si l'angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, c'est une hyperbole;
- et si les deux angles sont égaux, c'est une parabole.
- les coniques partiellement dégénérées :
- l'intersection est un cercle quand le plan est perpendiculaire à l'axe du cône;
- l'intersection est une hyperbole équilatère quand l'angle d'inclinaison du plan est inférieur de 45° à l'angle d'ouverture du cône;
- et les coniques totalement dégénérées, quand le plan contient le sommet du cône :
- l'intersection est un couple de droites sécantes, si l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône est inférieur à l'angle d'ouverture du cône ;
- l'intersection est réduite à une droite si ces angles sont égaux.
- enfin elle est réduite à un point si l'angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture.

Définition purement projective

Il s'agit de définir les coniques sans distances, sans angles, juste avec la règle, le crayon et une poignée d'axiomes, dans la plus pure tradition de Blaise Pascal et Girard Désargues: voir traité projectif des coniques

Définition monofocale

La définition monofocale des coniques est encore appelée définition par foyer et directrice de ces coniques.

Définition

Quatre coniques ayant même foyer et même directrice Dans un plan (p), on considère une droite (d) et un point F non situé sur (d). Soit e un réel strictement positif. On appelle conique de droite directrice (d), de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan (p) vérifiant : :\ d(M, F) = e\ d(M, (d)) \qquad e \in\mathbb^
-_+ où :d(M, F) mesure la distance du point M au point F et :d(M, (d)) mesure la distance du point M à la droite (d) On notera que les ellipses sont des courbes fermées et bornées, que les paraboles sont ouvertes et infinies, et que les hyperboles possèdent deux branches symétriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes.

Mise en équation

Soit O la projection orthogonale du point F sur la droite (d). Dans le plan (p) on définit alors le repère orthogonal (O, (OF), (d)). Soit p la distance de O à F (p s'appelle le paramètre). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (p, 0). Pour un point M de coordonnées (x, y) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes : : \qquad d(M, F) = \sqrt : \qquad d(M, (d)) = \sqrt ce qui implique en élevant au carré et en utilisant et : : \qquad (x-p)^2 + y^2 = e^x^2 soit après simplification : : \qquad x^2(1-e^2) + y^2 - 2xp + p^2 = 0 types de conique En fonction des valeurs de e on obtient plusieurs types de courbes :
- Si 0
Sujets connexes
Cercle   Coordonnées homogènes   Courbe algébrique   Courbe plane   Cône (géométrie)   Distance (mathématiques)   Droite (mathématiques)   Ellipse (mathématiques)   Forme bilinéaire symétrique   Géométrie projective   Hyperbole (mathématiques)   Parabole   Perspective conique   Plan (mathématiques)   Plan projectif   Repère   Théorème de Dandelin   Traité projectif des coniques  
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