Matrice diagonale

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En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di, j) est diagonale si : : \forall(i, j)\ \ i \ne j, \ \ d_ = 0 Exemple : :\begin 1 & 0 \\ 0 & 4 \end On remarque qu'une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs
Matrice diagonale

En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di, j) est diagonale si : : \forall(i, j)\ \ i \ne j, \ \ d_ = 0 Exemple : :\begin 1 & 0 \\ 0 & 4 \end On remarque qu'une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. En général, la matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale. Toute matrice diagonale est aussi une matrice symétrique, une matrice normale et une matrice triangulaire. La matrice identité In est diagonale.

Utilisations

Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation. Une matrice presque diagonale (on la dit alors à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin. Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées. De plus, toute matrice d'ordre n qui possède n colonnes propres linéairement indépendantes est semblable à une matrice diagonale et toute matrice normale est unitairement semblable à une matrice diagonale. Les deux derniers résultats expliquent pourquoi les matrices diagonales sont si importantes en algèbre linéaire. Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive.

Notation

Comme seuls les élements de la diagonale peuvent être non nuls, une notation courante des matrices diagonales est la suivante. :diag(a_1, a_2, ..., a_k) = \begin a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & a_k \end

Multiplication

Les matrices diagonales forment une sous-algèbre commutative de \mathcal_n(K). En d'autres termes, si les matrices D = diag(d_i) et E = diag(e_i) sont diagonales, alors :
- \lambda D + \mu E = F est une matrice diagonale
- DE = ED = G est une matrice diagonale avec (\lambda, \mu) \in K^2 \ \ F = diag(\lambda d_i + \mu e_i) et G = diag(d_i e_i) Ainsi les matrices diagonales peuvent simplement être multipliées coefficients par coefficients, parce que les zéros en dehors de la diagonale annulent les autres termes dans la formule de multiplication. Une conséquence de cela est qu'élever une matrice diagonale A à une certaine puissance revient à élever les coefficients de la diagonale de A à cette puissance : :D^k = diag( d_ )^k = diag( d_^k )

Inversion

Une matrice diagonale d'éléments diagonaux tous non nuls est toujours inversible, et l'opération est immédiate. En effet, si :A=diag(a_1, a_2, ..., a_k)=\begin a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & a_k \end alors :A^ = \begin 1/a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1/a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & 1/a_k \end On vérifie bien que :A\cdot A^=A^\cdot A=\begin 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 \end=I_k soit la matrice identité.

Voir aussi

- Matrice (mathématiques)
- Matrice triangulaire Diagonale ca:Matriu diagonal cs:Diagonální matice de:Diagonalmatrix en:Diagonal matrix es:Matriz diagonal fi:Lävistäjämatriisi he:מטריצה אלכסונית hu:Diagonális mátrix it:Matrice diagonale ja:対角行列 nl:Diagonaalmatrix pl:Macierz diagonalna pt:Matriz diagonal ru:Диагональная матрица th:เมทริกซ์ทแยงมุม uk:Діагональна матриця ur:وتر میٹرکس zh:對角矩陣
Sujets connexes
Algèbre linéaire   Diagonale principale   Diagonalisation   Décomposition en valeurs singulières   Endomorphisme   Matrice (mathématiques)   Matrice identité   Matrice normale   Matrice semblable   Matrice symétrique   Matrice triangulaire   Orthogonalité   Théorème de Gershgorin   Valeur propre (synthèse)  
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