Algèbre associative

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En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.
Algèbre associative

En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.

Définition

Une algèbre associative A sur un corps \mathbb est un espace vectoriel sur \mathbb muni d'une multiplication bilinéaire A\times A \to A telle que
- (x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans A, où l'image de (x, y) est notée xy. Si A contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans A, alors A est appelée algèbre associative unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base \mathbb par identification de c dans \mathbb avec c1 dans A. La dimension d'une algèbre associative A sur un corps \mathbb est sa dimension comme espace vectoriel sur \mathbb.

Exemples

- Les matrices carrées de taille n par n à coefficients dans \mathbb forment une algèbre associative unitaire sur \mathbb.
- Les nombres complexes \mathbb forment une algèbre associative unitaire de dimension 2 sur le corps \mathbb des nombres réels.
- Les quaternions forment une algèbre associative unitaire de dimension 4 sur le corps des nombres réels.
- Les polynômes à coefficients dans \mathbb forment une algèbre associative unitaire de dimension infinie sur \mathbb.
- Pour tout espace vectoriel V, les endomorphismes de V forment une algèbre associative unitaire.
- Les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie sont des algèbres associatives.
- Les algèbres d'incidence des ordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées en combinatoire. Catégorie:Structure externe de:Assoziative Algebra en:Associative algebra es:Álgebra asociativa he:אלגברה (מבנה אלגברי) zh:結合代數 zh-classical:結合代數
Sujets connexes
Algèbre de Lie   Anneau (mathématiques)   Associativité   Bilinéaire   Combinatoire   Corps (mathématiques)   Distributivité   Endomorphisme   Espace vectoriel   Mathématiques   Matrice (mathématiques)   Nombre complexe   Nombre réel   Polynôme   Quaternion   Relation d'ordre  
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