Diagramme horaire

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On considère un point se déplaçant sur une courbe. On repère la position de ce point à une date t, par son abscisse curviligne s(t). En cinématique, le graphe s'appelle diagramme horaire du mouvement. On s'en sert utilement pour les croisements des trains et l'évaluation des correspondances ou les aiguillages. En outre, il est essentiel de bien comprendre la différence entre la donnée de v= f(t) ou de v=g(s).
Diagramme horaire

On considère un point se déplaçant sur une courbe. On repère la position de ce point à une date t, par son abscisse curviligne s(t). En cinématique, le graphe s'appelle diagramme horaire du mouvement. On s'en sert utilement pour les croisements des trains et l'évaluation des correspondances ou les aiguillages. En outre, il est essentiel de bien comprendre la différence entre la donnée de v= f(t) ou de v=g(s).

Croisements

Le TGV

c'est un exemple classique : le TGV fait Paris-Marseille en 3H 05min avec 05 min d'arrêt à Avignon; et le TGV Marseille-Lyon-Paris en 3H 10min avec 10min d'arrêt à Lyon. On se demande où et quand se croisent le train T1 et le train T2 sachant que T1 part à 15H et T2 part à 16H. Réponse : le diagramme montre que les arrêts ne jouent aucun rôle dans ce problème : les trains se croisent donc à 17H, à Valence, ville telle que Paris-Valenc e= 480 km, Valence-Marseille = 240 km. Il existe multitude de problèmes de même sorte dans les recueils de préparation au Certificat d'Études Primaires.

La jonglerie

Un cas un peu plus difficile est celui-ci : Un jongleur lance verticalement la balle B1 qui monte à la hauteur H. De l'autre main , il lance la balle B2 d'un mouvement identique, juste au moment où la balle B1 commence à redescendre : où se croisent les balles ? La réponse est : à (3/4) H car le croisement aura lieu à la moitié du temps de descente de la balle B2 (il suffit de tracer les 2 diagrammes horaires, pour s'en assurer). La cinématique de la jonglerie est un joli exercice de permutation entre les différents mouvements de mains et de balles.

Les trains de Foucault

Cet exemple est célèbre, car il permet de voir "tourner la Terre" (cf pendule de Foucault), sans regarder les étoiles, mais simplement en regardant un phénomène cinématique interne au référentiel Terre. Pour simplifier l'explication, nous supposerons l'expérience faite au pôle Sud S : sur deux voies circulaires, centrées sur l'axe des pôles, circulent deux scooters des neiges de même vitesse angulaire ABSOLUE, \omega_o (par rapport aux étoiles, par conséquent), mais l'un vers l'Est et l'autre vers l'Ouest. Ils se croisent en un point qui dérive continuellement vers l'Est, et qui fait 15° par heure, c’est-à-dire un tour par jour. Pour s'en convaincre, refaire le raisonnement en Arctique, au pôle Nord. D'autre part, les traces des 2 scooters ne seront pas les mêmes, car, par rapport au sol de la Terre qui tourne, leur vitesse n'est pas la même : \omega_1 : = \omega_o + \Omega_T ; \omega_2 : = \omega_o - \Omega_T

Distinction v(t) et v(s)

Le problème n'est pas le même sur la route, si on relève
-la vitesse en chaque lieu v(s) ou
-la vitesse à chaque moment v(t).

Cas v(t)

Dans ce second cas( le plus facile), on trace la courbe v(t) de t=0 à to. L'aire sous la courbe donne l'espace parcouru s(to): Exemple: si la vitesse augmente linéairement v(t) = at , le déplacement sera s(to) = to
-ato/2 (aire du triangle rectangle); soit s(t0) = 1/2 a to^2: le mouvement est dit uniformément accéléré.

Cas v(s)

Dans ce cas, on parle de diagramme des espaces : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s). Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours( de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps.

Exemple classique:l'aller-retour

Pierre fait le chemin aller de A à B ( AB = 10km) à la vitesse de 12km/h. Au retour, plus fatigué, il court à 8 km/h. Question: arrivera-t-il avant ou après Jacques qui court l'aller-retour à 10km/h? La réponse est: Pierre arrive après Jacques; en effet il a couru moins d'une heure à 12km/h et plus d'une heure à 8km/h, donc sa moyenne de vitesse est inférieure à 10km/h. Ce raisonnement qualitatif est à bien maîtriser: la moyenne harmonique de vitesse est toujours plus petite que la moyenne arithmétique ( cf moyenne).

Exemple de Torricelli

v(s) = sqrt( 2gs). L'aire sous la courbe 1/sqrt(2gs) est sqrt(2so/g), donc le temps de parcours to est tel que s(to) = so = 1/2 g to^2 . Historiquement, le premier à faire ce calcul est Evangelista Torricelli ( de Motu 1641). Il s'agit bien entendu encore du mouvement uniformément accéléré. Galilée avait hésité à utiliser une courbe qui partait de l'infini au départ. Torricelli, élève d'abord de Castelli, puis de Cavalieri, n'avait pas ces scrupules et a dépassé le Maître.

Exemple relativiste de Bertozzi

cet exemple est de niveau nettement plus élevé. C'est la modification en relativité restreinte de l'exemple de Torricelli. On ne s'étonnera point que, au début du mouvement, le résultat soit voisin de celui de Torricelli, mais qu'à la fin du mouvement, v reste limitée par la vitesse-limite c. L'expérience fut réalisée par Bertozzi et donna les résultats escomptés par la relativité restreinte avec une précision remarquable. v(z) est donnée par l'équation, dite théorème d'énergie cinétique d'Einstein : \frac\sqrt(1-v^2/c^2) mc^2 = mc^2 +mgz On en tire v(z), et il "ne reste plus qu'à faire" les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes :
-z = c²/g( sqrt-1)
-dz/dt = v = gt/sqrt qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de le vérifier, si on connaît l'opération de dérivation). Que constater ? si gt/c
Sujets connexes
Cinématique   Evangelista Torricelli   Jonglerie   Mouvement keplerien   Moyenne   Pendule de Foucault   Puits de potentiel  
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