Puits de potentiel

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Le terme puits de potentiel permet de désigner la situation physique d'un objet matériel soumis à des forces attractives. Dans certains cas tout se passe comme si l'objet est piégé dans un « puits » duquel il a potentiellement des difficultés à sortir. Ce concept est étroitement lié à celui d'énergie et d'énergie potentielle notamment. De façon plus précise, un puits de potentiel est le voisinage d'une position d'équilibre stable d'un problème mécaniq
Puits de potentiel

Le terme puits de potentiel permet de désigner la situation physique d'un objet matériel soumis à des forces attractives. Dans certains cas tout se passe comme si l'objet est piégé dans un « puits » duquel il a potentiellement des difficultés à sortir. Ce concept est étroitement lié à celui d'énergie et d'énergie potentielle notamment. De façon plus précise, un puits de potentiel est le voisinage d'une position d'équilibre stable d'un problème mécanique, c'est-à-dire le voisinage d'un minimum local de l'énergie potentielle.

Étude mathématique

Soit une courbe plane, située dans un plan vertical, en forme de cuvette. Un point matériel, de masse m, s'y meut, en glissant sans frottement. La conservation de l'énergie donne, en prenant l'abscisse curviligne s(t) comme inconnue, l'équation du mouvement de ce point: \dot + 2g h(s) = 2E/m := 2gH qui s'appelle en mathématiques une équation différentielle de Leibniz, liée à l'équation différentielle de Newton du second ordre : \ddot +2 g \frac= 0. De l'équation de Leibniz, on tire la vitesse v(s)= +/- sqrt Ce qui ramène à l'étude d'un diagramme horaire. Par exemple le cas simple (dit de Torricelli) de h(s)=|s| y est étudié. Il arrive que l'on considère en physique une équation similaire : le mouvement d'un point matériel sur un axe x'Ox, sous l'action d'une force F(x) : \ddot = F/m := g(x) (On appelle énergie potentielle V(x) est l'opposée de la primitive de F(x)). La conservation de l'énergie donne le même type d'équation de Leibniz. On dit alors que la particule est confinée dans un puits de potentiel, sur l'intervalle , a et b, racines contiguës de V(x)= E.

Cuvette symétrique

Soit l'origine O, au fond de la cuvette, sans restriction de généralité. Soit A le point d'abscisse s = a telle que h(A)= H. Le mouvement se décrit qualitativement fort bien : la vitesse, maximale en O, ne cesse de décroître jusqu'à l'arrivée en A, au temps t1. Puis la particule rétrograde selon le même mouvement, et arrive en O, avec la vitesse opposée. Elle décrit alors l'autre bord de la cuvette, symétriquement, jusqu'au point symétrique A' et revient : le mouvement est périodique de période T = 4 t1. La méthode du diagramme horaire s'applique bien à ce cas qui peut donc s'expliquer et s'expérimenter sans de hautes mathématiques ; on peut ainsi tracer T(H).

Exemple: la cycloïde de Huygens (1659)

Huygens a trouvé quelle devait être la forme de la courbe pour que les oscillations soient isochrones : il fallait une cuvette qui se relevât plus vite que le cercle osculateur en O, de rayon R ; il trouva que la cycloïde convenait. Alors T(H) = cste = T_o = 2\pi \sqrt . Le phénomène est tout à fait extraordinaire et splendide à regarder avec 2 cycloïdes identiques, parallèles, de R = 4 mètres, d'envergure 12.5m environ. Il est aussi très somptueux de procéder avec une troisième cycloïde, de R = 1m : Une joue étant celle de la première cycloïde et l'autre celle de la troisième, le signal entendu est tic-tac-tic---toc---tic-tac-tic---toc, de période 3s environ , ceci quelle que soit l'envergure du mouvement, depuis environ 10 cm jusqu'à quelques m: c'est assez extraordinaire à voir et entendre. Pour le montage, on aura soin de calculer la bonne longueur de la suspension bifilaire associée à la masse d'environ 1 kg (détails techniques : penser à l'ajustement compte-tenu de l'effet pendule-double ; sinon, il faut que la masse soit un disque monté sur d'excellents roulements à bille, dont l'axe sera serti dans une perle oblongue passée dans le bi-fil. De plus, il faut évidemment prendre du fil INEXTENSIBLE, sous une charge de 3 kg. Enfin, il faut fixer solidement l'ensemble des joues pour éviter tout mouvement du support, en définitive assez lourd).

Taux d'Harmoniques

L'oscillation n'est pas en général harmonique. Il est usuel de poser : :v^2(s)= 2g(H-h(s)):=(s-a(H))^2N^2(s), et s=a(H).cos\phi. Ainsi : :: t= \int_0^\phi\frac :: T(H)= 4\int_0^\frac\pi\frac , la fonction N(s)(en Hertz) étant généralement bornée : N1 < N < N2, alors T2 < T(H) < T1.
- Le cas du pendule cycloïdal, vu dans le paragraphe précédent, est le plus facile, car N(s)= cste = No , donc T(H)= cste= To.
- Niveau plus élevé : Le cas du pendule simple, beaucoup plus difficile à analyser, est assez banal (on dit générique): si la cuvette présente un sommet arrondi concave, de hauteur H_, alors usuellement T(H) tend vers l'infini logarithmiquement quand H tend vers H_. Cet effet de ralentissement est appelé effet Ramsauer en physique nucléaire et a son correspondant en mécanique quantique. Il ressemble beaucoup à l'effet "soliton", analysé dans l'article pendule simple: soit la décomposition en série de Fourier de s(t) : s(t)= \Sigma b_n cos , le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur \aleph_0(H), puis s'écroule exponentiellement (donc très vite), dès que n > \aleph_0(H) : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c’est-à-dire à la "régularité" de la cuvette (cf Appell, mécanique, 1915).
- Note annexe : préciser, néanmoins, qu'il ne faudrait pas croire que l'anharmonicité soit toujours dûe à ce mécanisme de ralentissement T(H) ; on connaît des cas de cuvettes (non-symétriques) où T(H) = cste = To, mais où l'anharmonicité devient très grande. Dans ce cas, la fonction périodique s(t) ressemble alors à de la houle très pointue. À titre d'exemple V(x) = x -sqrt(x)), étudié en physique des plasmas.
- Enfin, il reste les cas où V(x) présente des singularités : le cas évident est celui d'une particule simplement bloquée entre deux murs réflecteurs : |x|
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