Démonstration

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En mathématiques, une démonstration (on croise parfois, en particulier dans la communauté scientifique, l'anglicisme « preuveen anglais, démonstration se dit proof, preuve se dit evidence et évidence se dit obviousness — un ensemble de faux amis prêtant à confusion », qui est à proscrire) est un raisonnement qui permet d'établir des assertions à partir de propriétés précédemment établies ou admises. L'assertion démontr
Démonstration

En mathématiques, une démonstration (on croise parfois, en particulier dans la communauté scientifique, l'anglicisme « preuveen anglais, démonstration se dit proof, preuve se dit evidence et évidence se dit obviousness — un ensemble de faux amis prêtant à confusion », qui est à proscrire) est un raisonnement qui permet d'établir des assertions à partir de propriétés précédemment établies ou admises. L'assertion démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans des preuves. Une démonstration ne peut être contestée, seules les hypothèses peuvent être discutées. Les démonstrations s'articulent sur la logique. Une conjecture est une assertion, confirmée par des exemples, pour laquelle aucune preuve n'existe. La réfutation d'une conjecture passe non pas par une démonstration mais par la recherche de contre-exemples.

Méthodes de démonstration

- La démonstration directe est la méthode la plus simple de démonstration s'appuyant sur la déduction logique. On oppose parfois démonstration déductive (utilisée pour par exemple montrer l'existence d'un objet à partir de théorème assurant son existence sans avoir construit explicitement cet objet) et démonstration constructive (qui consiste à construire un exemple concret possédant une certaine propriété, pour montrer qu'il existe au moins un objet ayant cette propriété).
- La démonstration par l'absurde est une méthode qui consiste à établir l'absurdité de la proposition contraire.
- La démonstration inductive Dans le contexte de la théorie de la démonstration, dans lequel des démonstrations purement formelles sont considérées, des démonstrations qui ne sont pas entièrement formelles sont appelées des « démonstrations sociales ». Ce sont des démonstrations qui sont basées sur des affirmations considérées comme exactes parce qu'elles sont admises par un ensemble de personnes. L'idée est acceptée comme exacte lorsqu'elle fait le consensus. Le résultat qui est démontré s'appelle un théorème. Une fois le théorème démontré, il peut être utilisé comme base pour démontrer d'autres assertions. Une assertion qui est supposée vraie mais qui n'a pas encore été démontrée est appelée une conjecture. Parfois il est possible de démontrer qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée à partir d'un ensemble donné d'axiomes; c'est le cas de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu vis-à-vis de l'axiomatique de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, on dit alors que cette assertion est indépendante de ce système d'axiomes. Dans beaucoup des systèmes d'axiomes communs en mathématique, il existe des assertions qui ne peuvent être ni démontrées ni réfutées; voir le théorème d'incomplétude de Gödel. Les démonstrations formelles demandent une très grande rigueur et une attention particulière; nous devons préciser les règles de logique le type de raisonnement que nous utilisons, définir éventuellement de nouveaux objets mathématiques dont nous avons besoin, rappeler les axiomes ou les théorèmes auxquels nous faisons référence, vérifier que nous sommes biens dans les conditions d'application d'un théorème avant de l'utiliser, etc. D'autre part, il est possible d'écrire toutes les démonstrations en langage formel, mais cela se fait rarement. Trop de formalisme rendrait presque impossible la compréhension d'une démonstration et dissimulerait l'idée générale dans un symbolisme excessif. Cependant comme cela est possible en utilisant un logiciel d'aide à la démonstration cela commence à se faire de plus en plus. Il y a donc un compromis entre une rigueur très poussée sur le plan de la logique et une rigueur plus superficielle utilisant davantage le langage naturel. Une démonstration, dans le cadre académique (cours, livre, exposé...) n'est en général pas détaillée au point d'être « juste » au sens de la logique; en général on se contente de donner des éléments suffisamment précis pour que l'auditoire/le lectorat visé soit convaincu. En effet, pour définir 1 proprement, il faudrait déjà des pages et des pages! C'est pourquoi par exemple une démonstration donnée au niveau licence ne conviendra pas à un élève de sup : pour ce dernier, la démonstration ne sera pas assez détaillée. En ce sens, une démonstration est quelque chose de très relatif.

Voir aussi

- théorie de la démonstration
- démonstration automatique de théorèmes ===
Sujets connexes
Adobe Flash   Anglicisme   Assertion   Axiome du choix   Conjecture   Contre-exemple   Démonstration constructive   Démonstration directe   Faux amis   Hypothèse du continu   Logique   Mathématiques   Raisonnement par l'absurde   Raisonnement par récurrence   Théorie de la démonstration   Théorème   Théorème d'incomplétude de Gödel  
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