Théorème de Wilson

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Alhazen (965 - 1039) est le premier mathématicien connu pour avoir énoncé le théorème de Wilson. En mathématiques, et plus précisément, en arithmétique modulaire le Théorème de Wilson' énonce une relation entre la fonction factorielle et une congruence modulo un nombre premier. Il est utilisé pour résoudre des équations diophantiennes. Un exemple est donné par Leonhard Euler (1707 – 1783) dans sa démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. C
Théorème de Wilson

Alhazen (965 - 1039) est le premier mathématicien connu pour avoir énoncé le théorème de Wilson. En mathématiques, et plus précisément, en arithmétique modulaire le Théorème de Wilson' énonce une relation entre la fonction factorielle et une congruence modulo un nombre premier. Il est utilisé pour résoudre des équations diophantiennes. Un exemple est donné par Leonhard Euler (1707 – 1783) dans sa démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Ce théorème doit son nom à John Wilson (1741 – 1793) qui a conjecturé ce résultat à la fin du .

Enoncé et exemples

Enoncé

Le théorème de Wilson énonce qu'un entier strictement positif p est un nombre premier si et seulement si il divise (
p - 1)! + 1. Ici, le symbole ! désigne la fonction factorielle.

Exemples

:
- Si p est égal à 3, alors (
p - 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3. :
- Si p est égal à 4, alors (
p - 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4. :
- Si p est égal à 5, alors (
p - 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5. :
- Si p est égal à 6, alors (
p - 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6. :
- Si p est égal à 7, alors (
p - 1)! + 1 est égal à 721, un multiple de 7.

Histoire

Le premier texte à faire référenceAlhazen Opuscula à ce résultat est du mathématicien arabe Alhazen (965 - 1039), démontrant une remarquable avance sur les sciences occidentales. Ce théorème est connu à partir du en Europe. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) fait référence à ce résultat. Euler le prouveLeonhard Euler Opusc. Anal. Tome 1 p 329 l'utilise G. Van Brummelen M. Kinyon Mathematics and the Historian’s Craft Springer New York 2005 pour sa démonstration du théorème des deux carrés de Fermat. Leibniz ne semble pas avoir jugé nécessaire de publier une preuve. John Wilson redécouvre ce qu'il croit être une conjecture et en partage la découverte avec son professeur Edward Waring (1736 – 1798) qui publie ce résultatEdward Waring Edward Waring Meditationes Cambridge J. Archdeacon 1770 en 1770. Une démonstration est présentéeJoseph-Louis Lagrange Démonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers Nouv. Mem. de l'Académie des sciences et belles lettres S 125-137 1771 comme nouvelle l'année suivante par Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813). La formalisationCarl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier 1807 des techniques de l'arithmétique modulaire de Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) permet une démonstration plus simpleCarl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p 34 1807. C'est elle, ou une analogue qui est maintenant généralement présentée.

Démonstrations

Arithmétique modulaire

Une démonstration moderne se fonde sur les propriétés de l'arithmétique modulaire. L'anneau Z/
pZ si p est un nombre premier dispose d'une structure parfaitement connue, particulièrement son groupe des unités correspondant aux éléments inversibles pour la multiplication. Cette connaissance permet une démonstration directe, sans habileté particulière. Le groupe des unités Z/pZ
- est isomorphe au groupe cyclique Z/
(p - 1)Z. Cette isomorphisme φ permet de conclure . En effet, (p - 1)! a pour image par φ la congruence de p(p - 1)/2, correspondant à la somme des entiers de 1 à p - 1. On remarque que p est congru à 1 modulo p - 1, l'image de φ est donc la congruence de (p - 1)/2, c'est à dire l'unique élément d'ordre 2 du groupe. Dans Z/pZ
- cet élément correspond à la classe de -1, ce qui permet de conclure.

Principe de la démonstration de Gauss

Gauss raisonne de manière un peu plus astucieuse. Pour calculer la somme de 1 à p - 1, il remarque qu'il est possible de d'ajouter 0 en première positition, alors le ième terme s'annule avec le p - 1 - ième. \sum_^\overline i \ = \ \overbrace\overline 0+\underbrace\overline 1+\cdots + \overline + \cdots + \overline _\overline + \overline ^\overline Comme p est impair, la somme contient un nombre impair de termes, il ne reste plus que (
p - 1)/2, l'unique élément d'ordre deux.

Démonstration manuelle

Alhazen, Leibniz ou Euler ne disposent pas de ce savoir. Ils connaissent la division euclidienne, le théorème des restes chinois et son équivalent algébrique l'identité de Bézout enfin des propriétés décrites dans l'article Congruence sur les entiers à l'exception du dernier paragraphe. Une démonstration est toujours possible, elle est en revanche plus longue et plus astucieuse. L'abstraction de l'approche modulaire est remplacée par une complexité plus grande. Celle présentée ici dérive de l'approche de Gauss. boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration sans les outils de l'arithmétique modulaire|contenu= :
- Si p n'est pas premier alors la division de (
p - 1)! par p ne donne pas pour reste zéro. En effet, si p n'est pas premier alors il admet un diviseur d différent de un et de p, que l'on retrouve dans les facteurs de (p - 1)!. Le reste de la division euclidienne de (p - 1)! par p est un multiple de d et ne peut donc être égal à d. :
- Si p est premier alors la division de (
p - 1)! par p donne pour reste moins un. Procédons en plusieurs étapes. Dans un premier temps, l'objectif est de montrer que si a est un entier compris entre 1 et p - 1, alors il existe une entier b aussi compris entre 1 et p - 1 tel que la division euclidienne de a.b par p possède pour reste 1. :: Il existe deux entiers positifs b1 et q1 tel que : ab_1 - pq_1 \ = \ 1 En effet, l'identité de Bezout montre l'existence de deux entiers b2 et q2 tel que a.b2 + p.q2 = 1. Si b2 est positif, la proposition est démontrée, sinon il existe un entier positif m tel que b1 = b2 + m.p strictement positif, on définit q1 = q2 - m.p car l'ensemble des entiers est archimédien. Le couple b1 et q1 vérifie bien les hypothèses de la proposition. :: Il existe un unique entier b compris entre 1 et p - 1 vérifiant la proposition suivante : \exists \, q \in \mathbb N \quad ab - pq \ = \ 1 Il suffit, pour se persuader de son existence, de diviser b2 par p, si b est le reste d'une telle division, il correspond à la valeur recherchée. Montrons alors l'unicité, si β1 et β2 sont deux valeurs vérifiant la proposition et tel que β1 est supérieur ou égal à β2, alors a.(β1 - β2) est un multiple de p, le lemme d'Euclide permet alors de conclure que β1 - β2 est nul, ce qui démontre l'unicité. La deuxième étape consiste à regrouper les différents entiers a et b par paires. Les produits a.b donnent tous pour reste par la division euclidienne par p la valeur 1, et les produits de ces produits donnent encore 1 pour reste de la même division euclidienne. Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Structure d'anneau de l'article Congruence sur les entiers, et étaient connues des différents mathématiciens ayant travaillé sur ce théorème. Il reste néanmoins encore une difficulté, correspondant aux cas ou les valeurs a et b sont égales. :: Les seules valeurs de a tel que a est égal à b sont 1 et p - 1. Si a est b sont égaux, alors il existe un entier q tel que : a 2 - 1 = p.q. On reconnait une identité remarquable et : (a-1)(a+1) \ = \ pq \; Le lemme d'Euclide permet alors de conclure que a est égal à 1 ou à p - 1. :: Conclusion En réordonnançant les différents facteurs de (p - 1)!, on obtient des paires d'entiers dont le produit possède pour reste 1 par la division euclidienne par p et 1 et p - 1, ce qui montre que le reste de la division euclidienne de (p'' - 1)! par p est égal à p - 1. Si l'utilisation des notations des congruences simplifie l'exposé, en revanche la complexité reste essentiellement la même. En revanche la connaissance de la structure du groupe multiplicatif simplifie grandement la démonstration.

Notes et références

Notes

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