Postulat de Bertrand

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Le postulat de Bertrand, aussi appelé théorème de Tchebychev, affirme que si n est un entier naturel et n ≥ 1, alors il existe toujours au moins un nombre premier p tel que n < p ≤ 2n. Bien que démontré, il a gardé son nom de postulat (=conjecture).
Postulat de Bertrand

Le postulat de Bertrand, aussi appelé théorème de Tchebychev, affirme que si n est un entier naturel et n ≥ 1, alors il existe toujours au moins un nombre premier p tel que n < p ≤ 2n. Bien que démontré, il a gardé son nom de postulat (=conjecture).

Historique

Cette affirmation fut pour la première fois conjecturée en 1845 par Joseph Bertrand qui la vérifia lui-même pour tous les nombres de l'intervalle . La conjecture fut complètement démontrée en 1850 par Pafnouti Tchebychev, qui utilisa dans sa démonstration la formule de Stirling. Ramanujan donna une démonstration plus simple et Paul Erdős en 1932 publia une preuve très simple dans laquelle il utilisa les coefficients binomiaux et la fonction θ, définie par: : \theta(x) = \sum_^ \ln (p) où p parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

Théorème de Sylvester

Le postulat de Bertrand fut avancé en vue d'applications au groupe des permutations. James Joseph Sylvester le généralisa avec la proposition suivante : le produit de k entiers consécutifs supérieurs à k est divisible par un nombre premier plus grand que k. Une conjecture similaire, appelée conjecture de Legendre, mais non encore résolue affirme l'existence d'un nombre premier p tel que n2 < p < (n+1)2. Elle touche à l'hypothèse de Riemann. Catégorie:Arithmétique modulaire en:Bertrand's postulate es:Postulado de Bertrand it:Postulato di Bertrand ja:ベルトランの仮説 pl:Postulat Bertranda ru:Постулат Бертрана simple:Bertrand's postulate sl:Bertrandova domneva sr:Бертранов постулат vi:Định đề Bertrand zh:伯特蘭-切比雪夫定理
Sujets connexes
Coefficient binomial   Conjecture   Démonstration   Démonstration du postulat de Bertrand   Entier naturel   Formule de Stirling   James Joseph Sylvester   Joseph Bertrand   Nombre premier   Pafnouti Tchebychev   Paul Erdős   Srinivasa Ramanujan  
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