Spectre d'anneau

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Le spectre d'anneau est très utilisé en géométrie algébrique, où il sert d'espace de base pour la construction des schémas.
Spectre d'anneau

Le spectre d'anneau est très utilisé en géométrie algébrique, où il sert d'espace de base pour la construction des schémas.

Définition ensembliste

Le spectre d'un anneau A est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note Spec\, A. En général, on suppose que A est commutatif et unitaire.

Topologie de Zariski

Définition

À tout idéal I de A, on associe Z(I), qui est l'ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent I. Remarquons que :
- Spec\, A = Z(\0\)
- \emptyset= Z(A)
- Z(I)\cup Z(J)=Z(I\cdot J)
- Z(\sum_\alpha I_\alpha) = \bigcap_\alpha Z(I_\alpha) Lees Z(I) sont donc les fermés d'une topologie sur Spec\, A, que l'on appelle topologie de Zariski. Pour tout élément f de A, l'ensemble des idéaux premiers de A ne contenant pas f est un ouvert de Zariski de Spec\, A noté D(f) ; on appelle parfois distingués les ouverts de cette forme, ils constituent une base de la topologie de Zariski sur Spec\, A.

Point générique

Si A est intègre, alors l'idéal nul est un idéal premier, c'est un point de Spec\, A qui est dense : c'est le point générique de Spec\, A.

Point fermé

Un point de Spec\, A est fermé si le singleton correspondant est une partie fermée de Spec\, A. Le point défini par un idéal premier est fermé si et seulement si l'idéal est maximal. En particulier, si A est un anneau intègre qui n'est pas un corps, alors le point générique n'est pas fermé, puisque l'idéal nul n'est pas maximal.

Notion de séparation

Le point générique (quand il existe) n'atant pas fermé, Spec\, A n'a aucune chance d'être un espace séparé ; toutefois, si on l'ote, on obtient quelques potentialités. Considérons l'espace topologique E formé de Spec\, A privé de son point générique :
- Si A est un anneau principal, tout idéal premier de A est maximal, donc E possède la propriété T_1 .
- Par exemple, si A=\Z , E est l'ensemble des nombres premier et la topologie de Zariski sur E est celle dont les fermés sont les parties finies. C'est une topologie non séparée mais tout de même T_1 .
- Si A est un anneau booléen, la topologie de E est non seulement séparée mais de plus elle est totalement discontinue.

Faisceau structural

À un isomorphisme près, il existe un unique faisceau d'anneaux commutatifs sur l'espace topologique Spec\, A dont l'anneau des sections sur un ouvert de la forme D(f) (pour f\in A) s'identifie à l'anneau localisé A\left. La donnée de l'espace topologique Spec\, A muni de ce faisceau d'anneaux (appelé faisceau structural) constitue un espace annelé. Si U est un ouvert de Spec\, A, l'anneau des sections sur U du faisceau structural est appelé par abus de langage anneau des fonctions régulières sur U. Pour tout idéal premier \mathfrak de A, l'anneau des germes de fonctions régulières en \mathfrak\in Spec\, A s'identifie au localisé A_\mathfrak de A en l'idéal premier \mathfrak. L'espace annelé Spec\, A est ainsi un espace topologique annelé en anneaux locaux ; par définition, il s'agit d'un schéma affine.

Exemples

- Spec\, \mathbb Z, est du point de vue ensembliste, l'ensemble des nombres premiers, qui correspondent aux idéaux p\mathbb Z, et le point 0, qui correspond à l'idéal nul. Ce dernier est générique.
- Spec\, \mathbb R, est du point de vue ensembliste, l'ensemble des polynômes premiers. On a donc dans le spectre un point pour chaque point de la droite rèelle et on a aussi un point pour chaque couples de complexes conjugués. Et le faisceau en chaque ouvert est l'ensemble des fractions rationnelles n'ayant pas de pôles dans l'ouvert. Catégorie:Idéal Catégorie:Géométrie algébrique en:Spectrum of a ring es:Espectro de un anillo ko:환의 스펙트럼 zh:交換環譜
Sujets connexes
Anneau   Anneau (mathématiques)   Anneau commutatif   Anneau intègre   Densité (mathématiques)   Espace localement annelé   Espace séparé   Faisceau   Géométrie algébrique   Idéal   Idéal premier   Isomorphisme   Localisation (mathématique)   Ouvert   Schéma  
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