Trigonométrie complexe

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Trigonométrie complexe

Extension des fonctions circulaires

Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi : :\sin z = \frac = \frac \sinh iz = \sum _^\infty\frac :\cos z = \frac = \cosh iz = \sum _^\infty\frac :\tan z = \frac \sin z \cos z = -i \frac \sinh iz \cosh iz = -i \tanh iz = -i \frac De même que leurs fonctions réciproques : :\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt \right) :\arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt \right) :\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big) Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.

Fonctions trigonométriques d'un complexe

Voici la démonstration de la formule permettant de calculer le cosinus d'un complexe : :af + ibf = \cos = \frac = \frac = \frac = \frac.e^ + \frac.e^ :=> r1 = \frac         t1 = a                => r2 = \frac         t2 = -a :=> a1 = r1.\cos = \frac.\cos         b1 = r1.\sin = \frac.\sin :=> a2 = r2.\cos = \frac.\cos = \frac.\cos         b2 = r2.\sin = \frac.\sin = -\frac.\sin :=> af = a1 + a2 = \frac.\cos + \frac.\cos = \cos. = \cos. = \cos.\cosh :=> bf = b1 + b2 = \frac.\sin - \frac.\sin = \sin. = \sin. = \sin.\sinh :=> \cos = \cos.\cosh + i.\sin.\sinh Pour les autres fonctions trigonométriques, faire de même. Pour tan et cotan, mieux faut utiliser leur propriété suivante : :\tan = \frac\sin\cos        \cot = \frac\cos\sin Voici la démonstration pour le cosinus hyperbolique : :af + ibf = \cosh = \frac = \frac = \frac = \frac.e^ + \frac.e^ :=> r1 = \frac         t1 = b                => r2 = \frac         t2 = -b :=> a1 = r1.\cos = \frac.\cos         b1 = r1.\sin = \frac.\sin :=> a2 = r2.\cos = \frac.\cos = \frac.\cos         b2 = r2.\sin = \frac.\sin = -\frac.\sin :=> af = a1 + a2 = \frac.\cos + \frac.\cos = .\cos = .\cos = \cosh.\cos :=> bf = b1 + b2 = \frac.\sin - \frac.\sin = .\sin = .\sin = \sinh.\sin Pour les autres fonctions trigonométriques hyperboliques, faire de même. Pour tanh et cotanh, mieux faut utiliser leur propriété suivante : :\tanh = \frac\sinh\cosh        \coth = \frac\cosh\sinh

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-Fonction trigonométrique
-Fonction exponentielle
-Fonction hyperbolique
-Nombre complexe catégorie:Trigonométrie catégorie:Analyse complexe
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