Somme directe

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En algèbre, le terme de somme directe s’applique à plusieurs situations différentes
Somme directe

En algèbre, le terme de somme directe s’applique à plusieurs situations différentes

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Article détaillé: Sous-espaces supplémentaires Soient F_1 et F_2 deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. On dit que F_1 et F_2 sont en somme directe si et seulement si pour tout élément u de F_1 + F_2, il existe un unique couple \ (u_1 ; u_2) de F_1 \times F_2 tel que u = u_1 + u_2. On dit aussi dans ce cas que la somme F_1 + F_2 est directe. En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels F_1 et F_2 est directe si la décomposition de tout élément de F_1 + F_2 en somme d'un élément de F_1 et d'un élément de F_2 est unique. La somme sera alors notée : F_1 \oplus F_2. On dispose des caractérisations usuelles suivantes :
- F_1 et F_2 sont en somme directe si et seulement si, pour tout u_1 de F_1 et u_2 de F_2, :u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0
- F_1 et F_2 sont en somme directe si et seulement si :F_1 \cap F_2 = \0\ Cas de la dimension finie : lorsque F_1 et F_2 sont de dimensions finies, les assertions suivantes sont équivalentes :
- La somme F_1 + F_2 est directe.
- \dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2).
- En juxtaposant ("réunissant") une base de F_1 et une base de F_2, on constitue une base de F_1 + F_2. Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F_1 et F_2 de E sont dits supplémentaires lorsque E = F_1 \oplus F_2. Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple \ (u_1 ; u_2) de F_1 \times F_2 tel que \ u = u_1 + u_2.

Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de E. On dit qu'une famille (F_i)_i=1\cdots k de sous-espaces vectoriels de E est en somme directe si et seulement si, pour tout élément u de la somme F = \sum_^k F_i, il existe un k-uplet unique (u_1 ;u_2; \cdots ;u_k) de F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k tel que u = \sum_^k u_i. On dit aussi dans ce cas que la somme F des sous-espaces (F_i)_i=1\cdots k est directe. En d'autres termes, la somme est directe si la décomposition de tout élément de F = \sum_^k F_i en somme d'éléments des F_i\, est unique. Pour désigner une somme directe, on se sert des notations F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k ou \bigoplus_ ^kF_i. Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul : : La somme F = \sum_^k F_i est directe si et seulement si : : l'unique k-uplet (u_1 ;u_2; \cdots ;u_k) de F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k tel que \sum_^k u_i = 0 est celui dont tous les éléments sont nuls. Remarque : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à \ \0\, c'est-à-dire que : :F_i \cap F_j = \0\ pour tout i et pour tout j, i différent de j. On s’en convaincra en regardant dans \R^2 les sous-espaces vectoriels : : F_1=\(x ; 0) , x \in \R\ : F_2=\(y ; y) , y \in \R\ : F_3=\(0 ; t) , t \in \R\. Leurs intersections deux à deux sont réduites à , mais leur somme \ F = F_ 1 + F_2 + F_3 (égale à \ \R^2) n'est pas directe. En effet, les 3 vecteurs u_1=(1 ; 0), \, u_2=(-1 ; -1), \, u_3=(0 ; 1) appartiennent respectivement à F_1, \, F_2, \, F_3 ; ils sont non nuls, et tels que \ u_1 + u_2 + u_3= (0 ; 0): la décomposition du vecteur nul n'est pas unique. En revanche, on montre que les sous-espaces de la famille des \ (F_)_1\geq i\geq n sont en somme directe dans \ E si et seulement si :
- \ \sum_^n F_i = E
- \ \forall k \in \left\ 1, ..., n-1\right\, \ \left(\sum_^F_\right)\cap F_=\left\0_\right\ Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a encore l'équivalence des assertions suivantes :
-Les (F_i)_i=1\cdots k sont en somme directe.
-\sum_^k \dim F_i = \dim\left(\sum_^k F_i\right).
-En juxtaposant une base \ \mathcal_1 de \ F_1, ... , une base \ \mathcal_k de \ F_k, on constitue une base de la somme. Exemple : soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie, et f un endomorphisme de E ayant exactement p valeurs propres (distinctes) appelées \lambda_1, \, \dots, \, \lambda_p. On désigne par \ \mathrm l'endomorphisme identique de E. Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p, E_i = \mathrm(f - \lambda_i\, \mathrm) est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre \ \lambda_i. Les deux propriétés suivantes sont classiques :
-La somme \sum_^p E_i est directe.
-\bigoplus_^p E_i = Esi et seulement si f est diagonalisable. :Lorsque c'est le cas, on constitue une base \ \mathcal de E diagonalisant f en juxtaposant une base \ \mathcal_1 de \ E_1, ... , une base \ \mathcal_p de \ E_p.

Somme directe orthogonale

On désigne ici par E un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille (F_i)_i=1\cdots k de sous-espaces vectoriels de E. S'ils sont deux à deux orthogonaux, leur somme est directe. Elle est alors appelée somme directe orthogonale. Un exemple très simple est l'espace F^\perp constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espace vectoriel F : il est en somme directe avec F. Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits supplémentaires orthogonaux. Un sous-espace vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Des conditions suffisantes sont que l'espace E soit de dimension finie ou que l'espace F soit fermé . Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale. Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :
-Les (F_i)_i=1\cdots k sont en somme directe orthogonale.
-En juxtaposant une base orthogonale \ \mathcal_1 de \ F_1, ... , une base orthogonale \ \mathcal_k de \ F_k, on constitue une base orthogonale de la somme.

Somme directe externe et produit cartésien

Lorsque deux sous-espaces F_1, F_2 d'un espace vectoriel E sont en somme directe, l'application suivante est bijective : :F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2, (u_1 ; u_2) \mapsto u_1 + u_2 Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien F_1 \times F_2 telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations : :\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2) et \alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2), :où u_1, v_1 sont dans F_1, u_2, v_2 sont dans F_2, et \alpha est dans K. Ceci incite, si E_1 et E_2 sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps K, à définir leur somme directe, dite alors externe.

Somme directe externe de deux K-espaces vectoriels

La somme directe externe de deux K-espaces vectoriels E_1 et E_2 est le produit cartésien E_1 \times E_2 sur lequel on définit
- une addition : :\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)
-une multiplication externe par les éléments de K : :\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2) (où \alpha \in K) Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble E_1 \times E_2 est un espace vectoriel sur K. Dès lors, \tilde = E_1 \times \0\ et \tilde = \0\ \times E_2 sont deux sous-espaces de E_1 \times E_2, respectivement isomorphes à E_1 et E_2 (on a "plongé" E_1, E_2 dans le produit cartésien) ; la relation E_1 \times E_2 = \tilde \oplus \tilde justifie l'appellation de somme directe externe. Lorsque E_1 et E_2 sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et : :\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2 :(car E_1 \times E_2 est somme directe des deux sous-espaces \tilde et \tilde, qui ont même dimension que \ E_1, \ E_2 respectivement).

Somme directe externe de plusieurs K-espaces vectoriels

On définit de même la somme directe externe \ E_1 \times \cdots \times E_k de k espaces vectoriels E_1, \dots, E_k sur le même corps K. Lorsque E_1, \dots, E_k sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et : :\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k.

Remarque à propos d'autres structures algébriques

On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de groupes additifs, ou d'anneaux, ou de A-modules sur le même anneau A. Par exemple, si A_1 et A_2 sont deux anneaux, on définit sur A_1 \times A_2 deux lois de composition interne :
- une addition : :\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)
- une multiplication : :\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1 b_1 ; a_2 b_2) Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble A_1 \times A_2 est un anneau. On notera que même si A_1 et A_2 sont intègres, leur produit cartésien ne l'est pas : a_1, a_2 étant deux éléments non nuls de A_1, A_2 respectivement, on a : \ (a_1 ; 0) \cdot (0 ; a_2) = (0 ; 0). ==
Sujets connexes
Algèbre   Anneau (mathématiques)   Anneau intègre   Espace vectoriel   Module sur un anneau   Projection orthogonale   Réduction d'endomorphisme   Valeur propre (synthèse)  
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