Espace vectoriel normé

Infos
Un espace vectoriel normé est une structure mathématique qui développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est très importante en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces Lp ou les espaces de Sobolev Wk, p.
Espace vectoriel normé

Un espace vectoriel normé est une structure mathématique qui développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est très importante en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces Lp ou les espaces de Sobolev Wk, p.

Structure générale

Définition formelle

Soit K un corps muni d'une valeur absolue (par exemple \R ou \mathbb C\!). Un K-espace vectoriel E est dit normé E lorsqu'il est muni d'une norme, c'est-à-dire une application \mathcal N de E dans \R^+ satisfaisant les hypothèses suivantes :
- séparation : \forall x \in E, \ \mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E ;
- homogénéité : \forall (\lambda, x)\in \mathbb K \times E, \ \mathcal N (\lambda \cdot x) = |\lambda| \mathcal N (x) ;
- sous-additivité : \forall (x, y) \in E^2, \ \mathcal N (x + y) \leq \mathcal N (x) + \mathcal N (y) . S'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, la norme d'un élément x est notée \|x\|. La boule unité (fermée) de E est alors l'ensemble des vecteurs de norme inférieure ou égale à 1.

Sous-espace et espace quotient

Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé est normé par la restriction de la norme. Si E est un espace vectoriel muni d'une semi-norme q, alors le quotient de E par le noyau \left\x\in E \colon q(x) = 0\right\ de la semi-norme est un espace vectoriel normé.

Exemples fondamentaux

Soit X un espace mesuré. L'espace Lp(X) des fonctions p-intégrables sur X presque partout définies à valeurs réelles ou complexes, muni de la norme p associée, ainsi que l'espace L(X) des fonctions presque partout définies et bornées sur X à valeurs réelles ou complexe, muni de la borne supérieure essentielle du module, sont des espaces vectoriels normés.
- Si X est un segment de \R ou plus généralement un compact de \R^n, muni de la mesure de Lebesgue, ces espaces induisent les normes usuelles sur les espaces de fonctions continues sur X ;
- si X est un ensemble fini \left\1, \dots, n\right\ muni de la mesure de comptage, on retrouve les normes usuelles sur Kn ;
- si X est l'ensemble des entiers naturels muni de la mesure de comptage, on obtient les espaces de suites p-sommables \ell^p et l'espace des suites bornées \ell^\infty. Explicitement, \ell^p est l'ensemble des suites (x_n)_n\ge 0 de nombres complexes, muni de la norme \Vert x\Vert_p:=\big(\sum_^\infty \vert x_n\vert^p\big)^\frac Remarque. Dans ces exemples, il n'est pas trop difficile de vérifier que la norme 1 ou \infty est bien une norme. Pour la norme 2, c'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour p quelconque, l'inégalité triangulaire, qui porte le nom d'inégalité de Minkowski, est plus cachée.

Topologie

Topologie métrique

Soit E un espace vectoriel normé. La distance induite par la norme sur E en fait un espace métrique et un espace vectoriel topologique séparé. La norme est alors une application 1-lipschitzienne donc continue de E dans \R. En outre, les boules constituent une base de voisinages convexes de 0, donc on obtient les propriétés suivantes :
- une partie A de E est bornée au sens des espaces vectoriels topologiques si et seulement si elle est incluse dans une boule ;
- l'espace E est localement convexe donc il vérifie le théorème de Krein-Milman et son dual topologique E' sépare les compacts.

Opérateur borné

Un opérateur borné est une application linéaire par laquelle l'image de la boule unité est incluse dans une boule de l'espace but. L'ensemble des opérateurs bornés entre deux K-espaces vectoriels normés E et F se note parfois Lborné(E, F). C'est un sous-espace vectoriel de L(E, F) normé par la norme d'opérateur. Lorsque ces espaces vectoriels normés sont réels ou complexes, l'espace des opérateurs bornés s'identifie avec l'espace Lc(E, F) des applications linéaires continues.

Théorème de Riesz

Ce théorème stipule que si la boule unité (fermée) d'un espace vectoriel réel ou complexe normé E est compacte, alors E est de dimension finie. Autrement dit, la boule unité fermée d'un espace vectoriel normé de dimension infinie est toujours non compacte. Cependant, la boule unité fermée de son dual topologique (de dimension infinie également) est faiblement compacte, c'est-à-dire compacte pour la topologie faible.

Cas particuliers

Espace préhilbertien

Un espace vectoriel normé E est dit préhilbertien si la norme provient d'un produit scalaire ou d'un produit hermitien par l'équation : :\forall x\in E, \ \|x\| = \sqrtx \cdot x. On a les caractérisations suivantes :
- Un espace vectoriel réel normé E est préhilbertien si seulement si l'application (x, y) \mapsto \frac(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2) est une forme bilinéaire et cette application est alors le produit scalaire associé.
- Un espace vectoriel complexe normé E est préhilbertien si et seulement si l'application (x, y) \mapsto \frac(\|x+y\|^2-\mathcal \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2) est une forme sesquilinéaire et cette application est alors le produit hermitien associé.

Complétude

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance induite par la norme. Un espace de Hilbert est un espace de Banach préhilbertien. Un espace vectoriel normé n'est jamais complet s'il admet une base infinie dénombrable. Étant donné un espace vectoriel normé E, le complété de E au sens des espaces métriques est un espace de Banach. Si E est préhilbertien, cette complétion est un espace de Hilbert.

Dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur \R, sur \mathbb ou sur un corps valué complet localement compact.
- Il n'existe qu'une seule topologie sur E qui en fasse un espace vectoriel topologique séparé. En outre, l'espace E muni de cette topologie est normable.
- Pour cette topologie, E est (uniformément) homéomorphe à \mathbb^n.
- En particulier, toutes les normes sur E sont équivalentes.
- L'espace E est complet, c'est donc un espace de Banach.
- Les parties compactes de E sont les fermés bornés.
- La boule unité fermée de E est compacte.
- Toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé quelconque est continue.

Voir aussi

- Espace vectoriel
- Norme
- Espace vectoriel topologique
- Espace métrique
- Espace préhilbertien
- Espace de Banach
- Espace de Hilbert Catégorie:Espace vectoriel normé Catégorie:Analyse fonctionnelle cs:Normovaný vektorový prostor da:Normeret vektorrum de:Normierter Raum en:Normed vector space he:נורמה (מתמטיקה) it:Spazio vettoriale normato ja:ノルム線型空間 pl:Przestrzeń unormowana pt:Espaço normado ru:Нормированное векторное пространство sv:Norm (matematik)
Sujets connexes
Algèbre linéaire   Analyse   Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Application linéaire   Application lipschitzienne   Base (algèbre linéaire)   Borne (mathématiques)   Boule (mathématiques)   Continuité   Corps (mathématiques)   Corps valué   David Hilbert   Dimension d'un espace vectoriel   Distance (mathématiques)   Dual topologique   Ensemble convexe   Espace Lp   Espace complet   Espace de Banach   Espace de Hilbert   Espace de Sobolev   Espace localement compact   Espace métrique   Espace préhilbertien   Espace séparé   Espace vectoriel   Espace vectoriel topologique   Forme bilinéaire   Forme sesquilinéaire   Géométrie   Infini   Inégalité de Cauchy-Schwarz   Inégalité de Minkowski   Mesure (mathématiques)   Mesure de Lebesgue   Norme (mathématiques)   Norme d'opérateur   Norme équivalente   Opérateur borné   Produit scalaire   Segment (mathématiques)   Semi-norme   Stefan Banach   Suite (mathématiques)   Théorème de Krein-Milman   Topologie faible   Valeur absolue  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^