Intégration par changement de variable

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En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.
Intégration par changement de variable

En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.

Principe

C'est la règle d'intégration qui découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soit deux fonctions dérivables f, g et sachant, par la définition d'intégrale, que : \int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df(x) = f(x) + C alors ce théorème permet d'obtenir : \int \left( \frac\mathrm d\mathrm d g(x) f(g(x)) \cdot \frac\mathrm d\mathrm dx g(x) \right) \mathrm dx = \int\mathrm d = f \circ g (x) + C

Exemple

Soit à calculer : \int 2x \cos(x^2)\mathrm dx Si on pose le changement de variable u=x^2 et donc \mathrm du=2x\mathrm dx alors : \int 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int \cos(u)\mathrm du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C

Théorème

Enoncé

Soit f une fonction numérique continue, et \varphi(t) une fonction de classe \mathcal C^1 (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f. Alors : \int_\varphi(a)^\varphi(b) f(x)\, \mathrm dx = \int_^ f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, \mathrm dt

Démonstration

f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition de f. La fonction F\circ \varphi est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a : :(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi' D'où :\int_^ f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, \mathrm dt=\int_^ ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\, \mathrm dt :=\int_^ (F\circ \varphi)'(t)\, \mathrm dt :=\left_a^b :=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) :=\int_\varphi(a)^\varphi(b) f(x)\, \mathrm dx

Changements de variables classiques

- Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
- Pour calculer\intf\left(x, \sqrt\fraccx+\mathrm d\right)\mathrm\mathrm dx, où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on poseu=\sqrt\fraccx+\mathrm d :le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.

Cas des intégrales multiples

Losque f est une fonctions de plusieurs variables, outre le changement du domaine d'intégration on utilise le jacobien de la transformation « à la place » de \varphi'. Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne. On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions : :\iint_D f(x, y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_T f\bigl(\phi(u, v), \Psi(u, v)\bigr)\left|\frac\part(\phi, \Psi)\part(u, v)(u, v)\right|~\mathrm du\mathrm dv.

Voir aussi

- Calcul intégral
- Changement de variable (simplification algébrique)
- Composition de fonctions Changement de variable de:Integration durch Substitution en:Integration by substitution it:Metodo di integrazione nl:Integratie door substitutie pl:Całkowanie przez podstawienie vi:Phép đổi biến tích phân zh:换元积分法
Sujets connexes
Analyse (mathématiques)   Calcul intégral   Changement de variable (simplification algébrique)   Classe de régularité   Composition de fonctions   Déterminant (mathématiques)   Ensemble de définition   Fonction de plusieurs variables   Fraction rationnelle   Image (mathématiques)   Intervalle   Intégrale multiple   Mathématiques   Matrice jacobienne   Règles de Bioche   Théorème de dérivation des fonctions composées   Variable  
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