Nombre algébrique

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En mathématiques, on appelle nombre algébrique tout nombre qui est racine d'une équation algébrique (autrement dit d'un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients rationnel). Sans plus de précision, on suppose qu'un nombre algébrique est un nombre complexe, mais on peut aussi considérer les nombres algébriques dans d'autres corps, tel que le corps des nombres p-adiques. Tous ces nombres algébriques appartiennent
Nombre algébrique

En mathématiques, on appelle nombre algébrique tout nombre qui est racine d'une équation algébrique (autrement dit d'un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients rationnel). Sans plus de précision, on suppose qu'un nombre algébrique est un nombre complexe, mais on peut aussi considérer les nombres algébriques dans d'autres corps, tel que le corps des nombres p-adiques. Tous ces nombres algébriques appartiennent à un certain corps de nombres algébriques.

Exemples

-Tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient \frac\, de deux entiers est racine de l'équation q x - p = 0\, .
-Un nombre irrationnel peut être ou non algébrique. Par exemple 2^\frac\, ou \frac3^\frac\, sont algébriques, car ils sont les solutions de x^2~-~2=0\, et 8x^~-~3=0\, , respectivement.
- Le nombre complexe i\, est algébrique, car il est racine de l'équation x^2 + 1 = 0.

Propriétés

On a dit, ci-dessus, que les nombres qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendants. "La plupart" des nombres complexes sont transcendants, parce que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable tandis que l'ensemble des nombres complexes, et par conséquent aussi l'ensemble des nombres transcendants, ne l'est pas. Les exemples de nombres transcendants incluent \pi\, et e\, . D'autres exemples sont fournis par le théorème de Gelfond-Schneider. Tous les nombres algébriques sont calculables et par conséquent sont définissables. Si un nombre algébrique est racine d'une équation polynômiale de degré n, et s'il n'est racine d'aucune équation polynômiale de degré strictement inférieur à n, on dit que c'est un nombre algébrique de degré n. Par exemple, les nombres algébriques de degré 1 sont les rationnels, et i, \, \sqrt sont algébriques de degré 2. Le concept de nombre algébrique peut être généralisé à des extensions de corps arbitraires; les éléments dans de telles extensions qui satisfont aux équations polynômiales sont appelés des éléments algébriques.

Le corps des nombres algébriques

La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres algébriques sont encore algébriques : par conséquent, les nombres algébriques forment un corps, habituellement noté \overline\mathbb ; il est inclus dans \mathbb. On a \overline\mathbb \neq \mathbb : en effet, il est connu que l'ensemble \overline\mathbb est dénombrable, alors que \mathbb ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants. On peut montrer que chaque racine d'une équation polynômiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est encore algébrique. Ceci peut être reformulé en disant que le corps des nombres algébriques est algébriquement clos. En fait, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant les nombres rationnels, et il est par conséquent appelé clôture algébrique du corps \mathbb des rationnels. Tous les énoncés ci-dessus sont très facilement démontrés dans le contexte général des éléments algébriques d'une extension de corps.

Nombres définis par des radicaux

Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des entiers en utilisant un nombre fini d'additions, de soustractions, de multiplications, de divisions et d'extractions de racines n-ièmes (où n est un nombre entier positif) sont algébriques. La réciproque, néanmoins, n'est pas vraie : il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière ; d'après la théorie de Galois, tous ces nombres sont de degré supérieur ou égal à  5. et le théorème d'Abel–Ruffini. Un exemple d'un tel nombre est l'unique racine réelle de x^5-x-1=0\, .

Entiers algébriques

Un nombre algébrique qui satisfait une équation polynômiale de degré n avec le premier coefficient a_n~=~1\, (c'est-à-dire racine d'un polynôme monique) et tous les autres coefficients ai appartenant à l'ensemble \mathbb des entiers, est appelé un entier algébrique. Exemples d'entiers algébriques : 3~\sqrt+5\, et 6i~-~2\, . La somme, la différence et le produit d'entiers algébriques sont encore des entiers algébriques, ce qui signifie que les entiers algébriques forment un anneau. Le nom entier algébrique provient du fait que les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans tout corps de nombres sont sous bien des aspects analogues aux entiers. Si \mathbb\, est un corps de nombres, son anneau d'entiers est le sous-anneau des entiers algébriques dans \mathbb\, , et est fréquemment noté \mathcal_\mathbb\, . Ceux-ci sont les prototypes d'anneaux de Dedekind.

Généralisation

Plus généralement : soient \mathbbun corps, et \mathbb une extension de \mathbb. Un élément de \mathbbest dit algébrique sur \mathbb s'il est racine d'une équation polynômiale à coefficients dans \mathbb, non tous nuls ; il est dit transcendant sur \mathbb dans le cas contraire. La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où \mathbbest le corps \mathbbdes rationnels et \mathbbest le corps \mathbb des nombres complexes.

Classes particulières de nombres algébriques

-Entier de Gauss
-Entier d'Eisenstein
-Entier de Dirichlet
-Irrationnel quadratique
-Unité fondamentale
-Racine de l'unité
-Période de Gauss
-Nombre de Pisot-Vijayaraghavan
-Nombre de Salem Catégorie:Théorie de Galois Catégorie:Nature d'un nombre ar:عدد جبري bg:Алгебрично число bn:বীজগাণিতিক সংখ্যা cs:Algebraické číslo da:Algebraiske tal de:Algebraische Zahl el:Αλγεβρικός αριθμός en:Algebraic number es:Número algebraico fa:عدد جبری fi:Algebrallinen luku gl:Número alxébrico he:מספר אלגברי hu:Algebrai szám it:Numero algebrico ja:代数的数 ko:대수적 수 nl:Algebraïsch getal nn:Algebraiske tal pl:Liczby algebraiczne pt:Número algébrico ru:Алгебраическое число sk:Algebrické číslo sr:Алгебарски број sv:Algebraiskt tal ta:இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் vi:Số đại số zh:代數數 zh-classical:代數數
Sujets connexes
Addition   Anneau de Dedekind   Clôture algébrique   Corps (mathématiques)   Corps algébriquement clos   Corps de nombres algébriques   Dénombrable   Ensemble dénombrable   Ensemble fini   Entier algébrique   Entier d'Eisenstein   Entier de Dirichlet   Entier de Gauss   Extension de corps   Irrationnel quadratique   Mathématiques   Nombre complexe   Nombre de Pisot-Vijayaraghavan   Nombre de Salem   Nombre définissable   Nombre p-adique   Nombre rationnel   Nombre transcendant   Polynôme   Période de Gauss   Racine (mathématiques)   Racine de l'unité   Soustraction   Théorie de Galois   Théorème d'Abel (algèbre)   Théorème de Gelfond-Schneider   Unité fondamentale  
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