Polygone

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Un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique, formée d'une suite de segments, chacun d'entre eux partageant une extrémité avec le précédent et le suivant, délimitant ainsi un contour fermé. Le terme polygone recouvre en particulier les figures fermées délimitées par une ligne brisée (une figure en forme d'étoile par exemple).
Polygone

Un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique, formée d'une suite de segments, chacun d'entre eux partageant une extrémité avec le précédent et le suivant, délimitant ainsi un contour fermé. Le terme polygone recouvre en particulier les figures fermées délimitées par une ligne brisée (une figure en forme d'étoile par exemple).

Vocabulaire de base

Soient A1, A2, A3, ... An,   n points d'un espace géométrique. On dénomme alors polygone la figure notée « A1A2A3...An », et constituée par la suite des n segments : , , ... et . Les n points précédents sont les sommets du polygone, et les n segments ses côtés. À chaque sommet est associé un angle, c'est l'angle entre les deux côtés qui aboutissent au sommet. Dans la suite de cet article, nous ne considérerons que des polygones plans en géométrie euclidienne, c'est-à-dire des polygones dont tous les sommets sont dans un même plan euclidien. Toutefois, certaines des définitions qui suivent pourront s'étendre sans difficulté à d'autres géométries.

Ordre d'un polygone

Le nombre n des côtés d'un polygone est communément appelé ordre de ce polygone. C'est évidemment aussi le nombre de ses sommets ou celui de ses angles. Par exemple, un polygone d'ordre cinq détient cinq sommets, cinq angles et cinq côtés.

Eléments opposés

- Si l'ordre d'un polygone est pair : ::
- les sommets séparés par n/2 côtés sont dits « opposés » entre eux ; ::
- même chose pour les angles correspondants ; ::
- les côtés séparés par n/2 sommets sont dits eux aussi « opposés » entre eux.
- Si l'ordre du polygone est impair, les côtés sont « opposés » aux sommets et aux angles ( et vice versa ) ; plus précisément, chaque sommet ( ou chaque angle ) est « opposé » au côté situé (n - 1)/2 sommets plus loin.

Côtés prolongés et diagonales

Les droites qui portent les côtés d'un polygone sont appelées les côtés prolongés de ce polygone. Les côtés d'un polygone ne sont pas les seuls segments qui peuvent relier les sommets entre eux. Tout segment reliant deux sommets d'un polygone et autre qu'un côté est appelé diagonale de ce polygone. Un polygone à n côtés possède ainsi \frac\, diagonales.

Typologie des polygones

Il existe de nombreuses manières de classer les polygones : en fonction de leur convexité, de leurs symétries, de leurs angles... Mais on les classe d'abord suivant leur nombre de côtés.

Classement suivant le nombre de côtés

Les polygones peuvent être classés entre eux suivant leur nombre de côtés, c'est-à-dire leur ordre. Le polygone le plus élémentaire est le triangle : un polygone possède au moins trois sommets et trois côtés. Vient ensuite le quadrilatère, à quatre côtés et quatre sommets. À partir de l'ordre cinq, chaque nom de polygone est formé d'une racine grecque correspondant à l'ordre du polygone suivie du suffixe -gone. Pour s'y retrouver dans la dénomination des polygones, il faut simplement retenir que -kai- signifie "plus" en grec, et que -conta- signifie "dizaine". Par exemple, le mot triacontakaiheptagone signifie trois (tria-) dizaines (-conta-) plus (-kai-) sept (-hepta-) unités, et correspond donc à un polygone de trente-sept côtés. Au delà de douze côtés, on a tout de même pour coutume de parler de polygone à n côtésn est remplacé par le nombre souhaité, ceci afin de simplifier les choses.
- Remarque : il existe cependant plusieurs dénominations anciennes pour des nombres "ronds" comme pour un polygone à vingt côtés (icosa-), à cent côtés (hecto-) et à dix mille côtés (myria-). À noter que les mêmes principes s'appliquent aux polyèdres, où il suffit de remplacer le suffixe -gone par le suffixe -èdre.

Classement par convexité

On rappelle qu'une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire un segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone. Exemple : les segments , , , , sont les 5 diagonales du pentagone ABCDE ci-contre.

Polygone croisé

Pentagone croisé. Un polygone est dit croisé si deux au moins de ses côtés sont
sécants
, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-contre (à droite). L' enveloppe d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Polygone concave

Polygone concave. Un polygone est dit concave s'il n'est pas croisé et si l'une de ses diagonales n'est pas entièrement à l'interieur de la surface délimitée par le polygone. Par exemple, le pentagone ACDBE ci-contre ( à droite ) est dit concave car les diagonales et sont à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Polygone convexe

Polygone convexe. Un polygone est dit convexe s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-contre (à droite) est dit convexe.

Polygone étoilé

L' enveloppe convexe d'un polygone est le plus petit polygone convexe le contenant. Attention : l'enveloppe et l'enveloppe convexe d'un polygone ne se confondent que si celui-ci est convexe ! Un polygone est alors dit étoilé si (et seulement si) aucun de ses côtés n'appartient à son enveloppe convexe. Par exemple, le pentagone croisé précédent et son enveloppe sont étoilés tous les deux.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut présenter des régularités (appelées symétries) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que des rotations ou des réflexions. L'élément de symétrie d'une transformation est l'ensemble des points invariants par cette transformation :
- pour une symétrie centrale, l'élément de symétrie est le centre de symétrie ;
- pour une symétrie axiale, l'élément de symétrie est justement cet axe, dit axe-miroir car il coupe toute figure globalement invariante par cette transformation en deux parties images en miroir l'une de l'autre ;
- pour une rotation, l'élément de symétrie est l'axe de rotation (en fait, pour être exact, il s'agit plutôt de l'intersection, appelée centre de rotation, de cet axe avec le plan où se trouve le polygone). Dans le cas d'une rotation, il faut préciser l'angle de cette rotation ou son ordre, sachant que le produit de l'angle de la rotation par son ordre est toujours égal à 2 π radians (ou 1 tour ou 360°...). On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux. On dit qu'un polygone (ou plus généralement toute figure de géométrie) présente un élément de symétrie quand il est globalement invariant par la transformation correspondante. Dans le cas d'un polygone, tous les éléments de symétrie passent par un même point. Ce point, s'il existe, est appelé centre du polygone.

Notion de polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il est convexe et présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de côtés. Ennéagone régulier. Cela signifie qu'il se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de 2 \pi \over n , où n est l'ordre du polygone. Le polygone présente ainsi la même configuration en chacun de ses sommets qui sont donc disposés régulièrement sur un cercle centré sur l'axe de rotation. Un polygone régulier est donc un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure). Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses côtés sont égaux (ou ses angles égaux ), alors il est régulier. Quelques exemples et contre-exemples :
- le triangle équilatéral est un polygone régulier ;
- le carré est un polygone régulier ;
- le losange (non carré) n'est pas régulier (il n'est pas inscriptible dans un cercle).

Polygone isocèle

Polygone isocèle d'ordre impair (triangle isocèle). Un polygone est dit isocèle quand il présente au moins un axe-miroir. Les axes-miroirs passent nécessairement par des sommets ou des milieux des côtés du polygone. Plus précisément :
- si l'ordre du polygone est impair, tout axe-miroir passe par un sommet et le milieu du côté opposé ( médiane, voir plus bas );
- si l'ordre du polygone est pair, tout axe-miroir passe soit par deux sommets opposés ( diagonale principale, voir plus bas ), soit par les milieux de deux côtés opposés ( médiane, voir plus bas ). Un polygone isocèle qui présente plusieurs axes-miroir a nécessairement un centre, le point d'intersection des axes-miroir. Quelques exemples et contre-exemples :
- le triangle isocèle, qui a deux côtés égaux, présente un axe-miroir passant par le sommet commun aux deux côtés égaux et le milieu du côté opposé ;
- les quadrilatères isocèles convexes sont : ::
- le trapèze isocèle ; il a deux côtés parallèles, et présente un axe-miroir passant par les milieux de ces deux côtés ; ::
- le cerf-volant est aussi un polygone isocèle ; il présente un axe-miroir passant par deux sommets opposés, et ses diagonales sont perpendiculaires ; ::
- le losange peut être vu comme un cas particulier de cerf-volant qui présente deux axes-miroirs passant par ses paires de sommets opposés, et confondus avec ses diagonales ;
- tout polygone régulier est isocèle et présente autant d'axes-miroir que de côtés ;
- le parallélogramme n'est pas isocèle (sauf s'il s'agit d'un losange).

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique quand il présente un centre de symétrie. Tout polygone centrosymétrique a nécessairement un nombre pair de sommets, et inversement, seuls les polygones d'ordre pair peuvent être centrosymétriques. Les côtés opposés d'un polygone centrosymétrique sont parallèles et de même longueur (ordre du polygone pair). Polygone centrosymétrique (parallélogramme). Quelques exemples et contre-exemples :
- les triangles ne peuvent pas avoir de centre de symétrie ;
- les quadrilatères centrosymétriques sont les parallélogrammes (côtés opposés parallèles et de même longueur) ;
- les seuls quadrilatères présentant à la fois un centre de symétrie et un axe-miroir sont les rectangles et les losanges ;
- tout polygone régulier d'ordre pair a un centre de symétrie.

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus brièvement n-rotosymétrique quand il présente un axe de rotation d'ordre n. Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de côtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de côtés. Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas particuliers de polygones rotosymétriques. Quelques exemples et contre-exemples :
- un triangle ne peut présenter d'axe de rotation que s'il est d'ordre 3 ; il est alors régulier, donc équilatéral ;
- tout quadrilatère rotosymétrique est centrosymétrique ;
- le cas le plus simple de polygone rotosymétrique sans être centrosymétrique ou régulier est celui de l'hexagone 3-rotosymétrique ;
- tout polygone régulier présente par définition un axe de rotation du même ordre que le polygone ;
- tout polygone convexe d'ordre premier présentant un axe de rotation est régulier. Polygone scalène (triangle scalène).

Polygone scalène

Un polygone scalène est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie. Un polygone scalène n'a donc pas de centre.

Classement par les angles

Un polygone convexe ne peut présenter plus de quatre angles droits.

Polygone rectangle

Un polygone est dit rectangle quand il comporte au moins un angle droit. Quelques exemples et contre-exemples :
- un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus ;
- un quadrilatère rectangle comporte au moins un angle droit ; ce n'est cependant pas forcément un rectangle, qui en comporte quatre ;
- dès qu'un trapèze comporte un angle droit, c'est un trapèze rectangle ; mais tout trapèze rectangle comporte forcément au moins deux angles droits adjacents ;
- le seul polygone régulier rectangle est le carré. C'est d'ailleurs un cas particulier de rectangle, avec quatre angles droits.

Polygone birectangle

Un polygone est dit birectangle quand il comporte au moins deux angles droits, consécutifs ou non. Quelques exemples et contre-exemples :
- aucun triangle n'est birectangle, du moins en géométrie euclidienne (il existe des triangles birectangles, et même trirectangles, sur une sphère) ;
- les quadrilatères convexes birectangles sont : ::
- les trapèzes rectangles, qui présentent deux angles droits consécutifs ; ::
- les semi-rectangles, qui présentent deux angles droits non consécutifs ; on peut les décrire comme deux triangles rectangles accolés par leur hypoténuse ;
- le seul trapèze semi-rectangle est le rectangle ;
- le seul polygone régulier birectangle est le carré. Un polygone avec deux angles droits consécutifs présente deux côtés parallèles.

Polygone trirectangle

Un polygone est dit trirectangle quand il comporte au moins trois angles droits, consécutifs ou non. Quelques exemples et contre-exemples :
- aucun triangle n'est trirectangle ;
- les seuls quadrilatères convexes trirectangles sont les rectangles, qui comptent d'ailleurs quatre angles droits ;
- le seul polygone régulier trirectangle est le carré. Un polygone convexe avec trois angles droits consécutifs présente deux fois deux côtés parallèles. Il ressemble en fait à un rectangle avec un coin découpé.

Polygone équiangle

Un polygone est dit équiangle quand tous ses angles sont égaux. Quelques exemples et contre-exemples :
- le seul triangle équiangle est le triangle équilatéral ;
- les quadrilatères convexes équiangles sont les rectangles ;
- tous les polygones réguliers sont équiangles.

Autres classements

Polygone équilatéral

Polygone équilatéral (heptagone régulier). Un polygone est dit équilatéral quand tous ses côtés ont la même longueur. Quelques exemples et contre-exemples :
- les quadrilatères convexes équilatéraux sont les losanges ;
- tous les polygones réguliers sont équilatéraux.

Polygone inscriptible (dans un cercle)

Un polygone est dit inscriptible quand tous ses sommets se trouvent sur un même cercle, dit circonscrit au polygone. Ses côtés sont alors des cordes de ce cercle, d'où le nom de polygone de cordes donné par les anglophones aux polygones inscriptibles. Quelques exemples et contre-exemples :
- tout triangle est inscriptible ;
- un trapèze n'est inscriptible que s'il est isocèle ;
- tout semi-rectangle est inscriptible ;
- le seul parallélogramme inscriptible est le rectangle ;
- tout polygone régulier est inscriptible.

Polygone circonscriptible (à un cercle)

Un polygone est dit circonscriptible quand tous ses côtés sont tangents à un même cercle, dit inscrit dans le polygone. Les anglophones ont baptisés polygone de tangentes ce type de polygone. Quelques exemples et contre-exemples :
- tout triangle est circonscriptible ;
- les seuls parallélogrammes circonscriptibles sont les losanges ;
- tout polygone régulier est circonscriptible.

Autres définitions et propriétés

Médiatrices d'un polygone

Ce sont les médiatrices de ses côtés.

Bissectrices d'un polygone

Ce sont les bissectrices de ses angles.

Médianes et diagonales principales d'un polygone

- Si l'ordre n du polygone est pair : ::
- on appelle diagonale principale de ce polygone tout segment reliant deux sommets opposés. Ces diagonales principales sont au nombre de \frac\, . Si le polygone est régulier, ses diagonales principales sont aussi appelées diamètres, car elles sont alors aussi des diamètres du cercle circonscrit au polygone. ::
- on appelle médiane de ce polygone tout segment reliant les milieux de deux côtés opposés. Ces médianes sont aussi au nombre de \frac\, .
- Si l'ordre du polygone est impair, il n'y a pas de diagonales principales, seulement des médianes. Chaque médiane relie alors un sommet au milieu du côté opposé. Elles sont alors au nombre de n \, .

Apothèmes et rayons d'un polygone à centre

Apothéme d'un hexagone. Les apothèmes d'un polygone à centre relient les milieux de ses côtés à son centre. Si le polygone est régulier, ce sont aussi :
- les demi-médianes du polygone, s'il est d'ordre pair ;
- les lignes de construction définissant les médiatrices de ses côtés ;
- des rayons du cercle inscrit dans le polygone. Les rayons d'un polygone à centre relient ses sommets à son centre. Si le polygone est régulier, ce sont aussi :
- les demi-diamètres du polygone, s'il est d'ordre pair ;
- des rayons du cercle circonscrit au polygone.

Notion d'angle au centre

Soit A1A2A3...A'n un polygone à n côtés muni d'un centre O. On appelle angle au centre du polygone l'angle \widehat_ \, formé par deux rayons consécutifs de ce polygone. Si le polygone considéré est régulier, les n angles au centre ont tous la même mesure, 2π / n radians, et c'est aussi la mesure de l'angle entre deux apothèmes consécutifs.

Somme des angles

La somme des angles d'un polygone ne porte pas de nom particulier, mais vaut (
seulement''' dans le cas d'un polygone convexe ) : :S = (n - 2) \times180^\circ ou S = (n - 2)\times\pi radians, où n est l'ordre du polygone. À noter que lorsque l'ordre d'un polygone augmente d'une unité, la somme de ses angles augmente de 180° ou π radians : c'est le supplément d'angle.

Périmètre d'un polygone

Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. Si le polygone est régulier, son périmètre P vaut : : P = 2 n R \sin( \alpha / 2 ) \, où :
- n est l'ordre du polygone ;
- \alpha \, est son angle au centre ;
- et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit. Comme \alpha \, vaut 2π / n radians, et que sin xx quand x est voisin de 0, le périmètre tend vers 2 π R quand n tend vers l'infini. On retrouve bien le périmètre du cercle.

Aire d'un polygone

L'aire d'un polygone non croisé est l'aire de la surface enclose par le polygone. Si le polygone est régulier, son aire A vaut : : A = n R^2 \cos \left(\frac\alpha\right) \sin\left(\frac\alpha\right) \, où :
- n est l'ordre du polygone ;
- \alpha \, est son angle au centre ;
- et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit. Comme l'angle au centre vaut 2 π / n radians, et que sin xx et cos x ≈ 1 quand x est voisin de 0, l'aire tend vers π R2 quand n tend vers l'infini. On retrouve bien l'aire du disque. Il existe une seconde formule possible pour calculer l'aire d'un polygone régulier : A = \fraca \times P où a est l'apothème du polygone et P son périmètre. Lorsque le polygone est irrégulier, il est facile de le partitionner en triangles à partir des diagonales. Pour calculer son aire, il suffit alors de faire la somme des aires des triangles obtenus.

Voir aussi

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