Grammaire formelle

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Une grammaire est un formalisme permettant de définir une syntaxe et donc un langage formel, c'est-à-dire un ensemble de mots sur un alphabet donné. La notion de grammaire formelle est particulièrement utilisée en programmation logique, compilation (analyse syntaxique), en théorie de la calculabilité et dans le traitement des langues naturelles (tout particulièrement en ce qui concerne leur morphologie et leur syntaxe).
Grammaire formelle

Une grammaire est un formalisme permettant de définir une syntaxe et donc un langage formel, c'est-à-dire un ensemble de mots sur un alphabet donné. La notion de grammaire formelle est particulièrement utilisée en programmation logique, compilation (analyse syntaxique), en théorie de la calculabilité et dans le traitement des langues naturelles (tout particulièrement en ce qui concerne leur morphologie et leur syntaxe).

Langages

Un langage est un ensemble de mots, qui sont simplement des séquences de symboles choisis dans un ensemble (en général fini) appelé alphabet. Formellement, si A est un ensemble, on note A^
- le monoïde libre sur A, c'est-à-dire l'ensemble des suites finies d'éléments de A, muni de l'opération de concaténation de deux mots. Un langage sur l'alphabet A est par définition un sous-ensemble de A^
-. Souvent, les « symboles » que l'on considère lorsqu'on définit un langage par une grammaire formelle sont constitués de plusieurs caractères, de sorte qu'ils correspondent plutôt à ce que l'on appelle des mots dans la langue courante. De même, les « mots » du langage correspondent plutôt à des phrases ou à des textes. Lorsqu'il y a ambiguïté, on parle de lettres ou de caractères pour les symboles de l'alphabet utilisé pour coder les informations ; et on réserve le mot symbole pour ceux de l'alphabet abstrait, qui sont les éléments de base du langage. Par exemple :
- A1 = est un alphabet contenant 5 symboles, traditionnellement appelés lettres dans ce cas précis ;
- A2 = est un autre alphabet contenant 5 symboles ;
- A3 = est un alphabet de 6 symboles pouvant décrire, par exemple, la structure syntaxique d'une phrase dans une langue naturelle.

Grammaires

Une grammaire formelle, ou simplement grammaire, est formée d'un ensemble fini de symboles terminaux (qui sont les lettres ou les mots du langage), d'un ensemble fini de non-terminaux, d'un ensemble de productions dont les membres gauche et droits sont des mots formés de terminaux et de non-terminaux, et d'un axiome. Appliquer une production consiste à remplacer son membre de gauche par son membre de droite ; l'application successive d'un certain nombre de productions s'appelle une dérivation. Le langage défini par une grammaire est l'ensemble des mots formés uniquement de symboles terminaux qui peuvent être atteints par dérivation à partir de l'axiome. On note habituellement les terminaux par des lettres minuscules, les non-terminaux par des majuscules, et l'axiome par la lettre S. Ainsi, la grammaire définie par les terminaux , le non-terminal S, les règles de production : S → aSb : S → ε (où ε désigne le mot vide) et l'axiome S représente le langage des mots de la forme a^n b^n (un certain nombre de 'a' (éventuellement 0 grâce à la règle S → ε), suivi du même nombre de 'b').

Hiérarchie de Chomsky

Lorsque le linguiste Noam Chomsky a dégagé la notion de grammaire formelle, il en a proposé une classification appelée de nos jours hiérarchie de Chomsky. Elle est formée des quatre niveaux suivants, du plus restrictif au plus large.
- Les langages de type 3, ou langages rationnels : ce sont les langages définis par une grammaire linéaire à gauche (c'est-à-dire une grammaire dont chaque membre droit de règle commence par un non-terminal), une grammaire linéaire à droite (c'est-à-dire une grammaire dont chaque membre droit de règle finit par un non-terminal) ou une expression rationnelle ; ou bien encore les langages reconnus par un automate fini.
- Les langages de type 2, ou langages algébriques : ce sont les langages définis par une grammaire formelle hors-contexte, ou bien encore les langages reconnaissables par un automate à pile non déterministe. La plupart des langages de programmation, sans être à proprement parler des langages algébriques, en sont assez proches pour que les techniques d'analyse des langages algébriques s'y adaptent.
- Les langages de type 1, ou langages contextuels : ce sont les langages définis par une grammaire contextuelle, ou encore les langages reconnaissables par une machine de Turing non-déterministe à ruban de longueur bornée par un multiple fixé de la longueur du mot d'entrée.
- Les langages de type 0, ou langages récursivement énumérables. Cet ensemble inclut tous les langages définis par une grammaire formelle. C'est aussi l'ensemble des langages acceptables par une machine de Turing (que l'on autorise à boucler sur un mot qui n'est pas du langage). Outre les quatre types de la hiérarchie de Chomsky, il existe des classes intermédiaires remarquables :
-entre 3 et 2 : les langages hors-contextes déterministes, reconnaissables par automate à pile déterministe ;
-entre 1 et 0 : les langages récursifs, c'est-à-dire reconnaissables par une machine de Turing (celle-ci doit refuser les mots qui ne sont pas du langage). Les six types ci-dessus sont strictement inclus les uns dans les autres. Notons que si dans le type 1, on transforme « non déterministe » en « déterministe », on obtient un type plus petit, mais on ne sait pas montrer s'il est strictement inclus dans le type 1 ou s'il est égal à celui-ci.

Analyse

Un analyseur pour un langage formel est un programme informatique qui décide si un mot donné en entrée appartient ou non au langage, et éventuellement en construit une dérivation. On dispose de méthodes systématiques pour écrire des programmes d'analyse des langages de type 2 ou 3 dans la hiérarchie de Chomsky. Les interpréteurs ou compilateurs comprennent presque toujours une phase d'analyse lexicale, qui consiste à reconnaître des langages de type 3, suivie d'une phase d'analyse syntaxique qui est une analyse de langage de type 2. L'analyse lexicale porte sur une suite de caractères et produit une suite de lexèmes, qui servent à leur tour d'éléments de l'alphabet lors de l'analyse syntaxique. Des outils comme lex et yacc facilitent l'écriture, respectivement, d'analyseurs lexicaux et d'analyseurs syntaxiques, en produisant automatiquement des portions de programmes à partir d'une spécification de ce langage. Les constructeurs d'analyseurs syntaxiques utilisent le plus souvent une variante de la forme de Backus-Naur, qui est une notation pour les grammaires hors-contexte ; tandis que les constructeurs d'analyseurs lexicaux emploient le formalisme moins lourd des expressions rationnelles.

Exemples de grammaires

Expressions arithmétiques

On peut définir des expressions arithmétiques de la façon suivante : exp ::= exp + exp | exp × exp | (exp) | num num ::= 0num | 1num | 2num | 3num | 4num | 5num | 6num | 7num | 8num | 9num | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 Les non-terminaux sont ici implicitement exp et num, les terminaux sont +, ×, (, ) et les chiffres. L'axiome est exp. La dérivation suivante est un exemple d'utilisation de cette grammaire. exp → exp × exp → num × exp → num × exp → 3 × exp → 3 × num → 3 × 1num → 3 × 18 Il convient de remarquer que la définition donnée permet de reconnaître les expression arithmétiques, mais non de les analyser ; En effet, la priorité des opérateurs n'est pas rendue par cette grammaire.

Langage de programmation simple

Définir un langage de programmation simple n'est pas très compliqué. Cette grammaire reconnaît un langage de programmation ressemblant à pascal. Voici un exemple de programme calculant fact(10) begin int a; int b; a:=10; b:=1; while(a>1) do b:=a
-b; a:=a-1; od; print b; end program ::= begin listinstr end listinstr ::= instr listinstr | instr instr ::= int id ; | id := expr ; | print expr ; | while ( cond ) do listinstr od ; expr ::= expr - expr1 | expr1 expr1 ::= expr1
-
expr2 | expr2 expr2 ::= id | num | ( expr ) cond ::= expr condsymb expr condsymb ::= > | = | ''
Sujets connexes
Analyse lexicale   Analyse syntaxique   Aristid Lindenmayer   Automate fini   Automate à pile   Calcul des propositions   Calculabilité   Compilateur   Concaténation   Ensemble récursif   Expression rationnelle   Forme de Backus-Naur   Hiérarchie de Chomsky   Informatique   L-System   Langage de programmation   Langage formel   Langage rationnel   Lex et yacc   Machine de Turing   Monoïde   Noam Chomsky   Récursivement énumérable   Syntaxe  
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