Tenseur

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Le terme tenseur désigne soit un tenseur proprement dit, soit un champ de tenseurs. En algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, domaines des mathématiques, un tenseur désigne une fonction multilinéaire. En physique et en sciences de l'ingénieur, le même terme désigne couramment ce que les mathématiciens appellent champ de tenseur : une application qui associe à chaque point d'un espace géométrique un tenseur différent, un tenseur qui varie contin
Tenseur

Le terme tenseur désigne soit un tenseur proprement dit, soit un champ de tenseurs. En algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, domaines des mathématiques, un tenseur désigne une fonction multilinéaire. En physique et en sciences de l'ingénieur, le même terme désigne couramment ce que les mathématiciens appellent champ de tenseur : une application qui associe à chaque point d'un espace géométrique un tenseur différent, un tenseur qui varie continûment avec la position.

Histoire

Le mot tenseur est issu de l'anglais d'origine latine tensor, mot introduit en 1846 par William Rowan Hamilton pour décrire la norme dans un système algébrique (finalement nommé algèbre de Clifford). Le mot a été utilisé avec son sens actuel par Woldemar Voigt en 1899. Le calcul différentiel tensoriel a été développé vers 1890 sous le nom de calcul différentiel absolu, et fut rendu accessible à beaucoup de mathématiciens par la publication par Tullio Levi-Civita 1900 du texte classique de même nom (en italien, suivi de traductions). Au , le sujet devient connu sous le nom de analyse tensorielle, et acquit une reconnaissance plus large avec l'introduction de la théorie de la relativité d'Albert Einstein, autour de 1915. La relativité générale est complètement formulé dans le langage des tenseurs. Einstein a appris à les utiliser, avec grande difficulté, du géomètre Marcel Grossmann ou peut-être de Levi-Civita lui-même. On utilise également les tenseurs dans d'autres domaines, comme par exemple la mécanique des milieux continus.

Définitions

Mathématiques

En géométrie différentielle, un tenseur est un objet défini sur les variétés autorisant à parler de champs d'endomorphismes, de champs d'applications multilinéaires au même titre que les champs de vecteurs. Ils généralisent les outils correspondants d'algèbre linéaire. Les tenseurs sont aussi des outils nécessaires pour effectuer de l'analyse sur les variétés. Parmi les tenseurs importants en mathématiques, citons les métriques riemanniennes ou les tenseurs de courbure. Il existe plusieurs approches pour définir un tenseur. L'approche formelle, en usage en mathématiques, consiste à définir les tenseurs comme sections globales de fibrés vectoriels obtenus par produit tensoriel, algèbre extérieure et algèbre symétrique à partir de l'espace tangent et de l'espace cotangent. La seconde approche consiste à introduire des matrices de fonctions correspondant à l'expression du tenseur dans des cartes locales, vérifiant des invariances ou contravariances par changements de cartes. Cette approche est systématique en physique, et en particulier en relativité générale, en mécanique générale et en mécanique des milieux continus : les objets ne se posent pas a priori comme sections de fibrés mais s'imposent a posteriori comme tels par cohérence dans les calculs ou dans la théorie.

Notion de tenseur

Exemples à l'ordre 0, 1 et 2 Lorsque l'on dispose d'une base d'un espace vectoriel E sur un corps \mathbb, tout vecteur de cet espace peut se décrire par ses coordonnées dans cette base. De même, une application linéaire entre deux espaces vectoriels, lorsque l'on a une base de chacun de ces espaces, peut se décrire par une matrice. Ainsi, dans une base (\vec e_ , \vec e_ , \vec e_ ) donnée, le vecteur \vec u sera décrit par ses composantes (u1, u2, u3). Si l'on change de base, les composantes (les nombres u1, u2 et u3) changent, mais le vecteur \vec u reste le même. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de \vec u dans toutes les bases. Un vecteur est un tenseur dit « d'ordre 1 ». Une application linéaire f d'un espace E vers un espace F est décrite par une matrice M dont les coefficients dépendent de la base de E et de celle de F. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de f dans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit « d'ordre 2 ». Un scalaire est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base. On dit que le scalaire est un « tenseur d'ordre 0 ».

Généralisation : tenseur d'ordre n

Une autre manière de voir est la suivante : une matrice M peut se noter par ses coefficients (Mij ), ou plutôt (Mij ), voir plus loin — soit deux indices —, un vecteur \vec u par ses composantes (ui ) — soit un indice —, et un scalaire a simplement par lui-même — soit zéro indice. On peut envisager des objets définis avec trois, quatre, n indices (Aijk…). Un objet défini par n indices est un tenseur d'ordre n. Attention, l'objet doit en plus vérifier les formules de changement de base (cf. distinction entre vecteurs et pseudovecteurs). Sur un espace vectoriel de dimension finie m, chaque indice peut prendre les valeurs de 1 à m. Un tenseur d'ordre n sur cet espace vectoriel a donc mn coefficients. Si le tenseur « relie » n espaces vectoriels de dimensions différentes m1, m2, … mn , alors le tenseur contient ?i = 1, …n mi coefficients. Un tel tenseur d'ordre n représente une application multi-linéaire (forme n-linéaire) de E \times E \times ... \times E dans \mathbb : : T(\vec a~, \vec b~, ..., \vec l~) = a^i b^j ...\ l^u \ T(e_i, e_j, ..., e_u) On retrouve les coefficients du tenseur T en identifiant T_ = T(e_i, e_j, ..., e_u).\

Physique - champ de tenseurs

Beaucoup de structures mathématiques appelées informellement 'tenseur' sont en fait des champs de tenseurs, c'est-à-dire d'un tenseur associé à un point de l'espace, et qui varie donc d'un point à l'autre. La Physique mathématique moderne repose sur des équations différentielles posées en termes de quantités tensorielles. Ainsi, les méthodes de calcul différentiel s'appliquent aussi aux tenseurs. En physique, les premiers tenseurs ont été introduits pour représenter l'état de contrainte et de déformation d'un volume soumis à des forces, d'où leur nom (tensions). Notations Dans les notations, T_ représente la composante du tenseur T de coordonnées (i, j, k, ...). Quand on veut désigner un tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre de ce tenseur, on peut souligner le nom du tenseur d'autant de trait que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette notation, un vecteur sera noté \underline plutôt que \vec u, et un tenseur de contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté \underline\underline\sigma. Ceci est particulièrement utile quand on manipule des tenseurs d'ordres différents, ce qui est le cas en déformation élastique, pour laquelle on caractérise le comportement de déformation des matériaux par un tenseur \underline\underline\underline\underline d'ordre 4, et les déformations \underline\underline\epsilon et contraintes \underline\underline\sigma par des tenseurs d'ordre 2.

Ordre

L'ordre d'un tenseur est le nombre d'indices matriciels nécessaires pour décrire une telle quantité. Par exemple en mécanique classique masse, température, et autres quantités scalaires sont des tenseurs d'ordre 0, mais force, déplacement et autres quantités vectorielles sont des tenseurs d'ordre 1. La théorie des tenseurs offre des aspects neufs à partir de l'ordre 2 et supérieurs.

Valence

Dans les applications physiques, on distingue les indices matriciels, selon qu'ils sont contravariants (en les mettant en exposant) ou covariants (en les mettant en indice), en fonction du comportement de la grandeur tensorielle considéré face à des transformations linéaires de l'espace. La valence d'un tenseur est le nombre des indices matriciels associé au type de chacun d'eux ; des tenseurs de même ordre mais de valences différentes ne se comportent pas de la même façon lors de changement du système de coordonnées. Par ailleurs, un indice covariant peut être changé en indice contravariant par produit tensoriel contracté avec le tenseur métrique. On appelle cette opération élever ou abaisser des indices. On note la valence en disant que le tenseur est de type (n, m) où n est le nombre d'indices contravariants et m le nombre d'indices covariants. La valence ne note pas l'ordre des indices. La valence est aussi utilisée quand on note le tenseur par une lettre, un indice en haut signifie alors que le tenseur est contravariant pour cet indice, un indice en bas signifie que le tenseur est covariant pour cet indice. On notera donc les vecteurs avec un indice haut, et les formes linéaires avec un indice bas. Exemples : Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contravariants. ils sont donc tenseurs de valence (1, 0) Les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants. ils sont de valence (0, 1) L'intérêt d'une telle notation, c'est qu'en cas de changement de base, elle donne directement le nombre de multiplications par la matrice de changement de base à effectuer : n, et par son inverse : m. Pour le changement de base d'un tenseur (1, 1), on aura une multiplication par la matrice de changement de base, et une multiplication par son inverse, exactement comme pour les matrices en algèbre linéaire.

Importance et applications

Les tenseurs sont importants en physique et en sciences de l'ingénieur. Par exemple, en imagerie médicale, on utilise une quantité tensorielle exprimant la perméabilité différentielle des organes à l'eau en fonction de la direction pour produire des images scanner cérébrales. Le tenseur d'effort et le tenseur de compression sont les utilisations les plus importantes en sciences de l'ingénieur. Ce sont tous deux des tenseurs d'ordre 2, et ils sont liés, dans un matériau à comportement linéaire, par un tenseur d'élasticité, d'ordre 4. Un tenseur d'ordre 2 qui quantifie la compression dans un objet tridimensionnel (un solide) a des composantes que l'on peut aisément représenter par un tableau 3x3, où 9 composantes décrivent la compression de cet élément de volume. L'intérêt d'une théorie des tenseurs est d'expliquer les propriétés mathématiques et physiques qui découlent du fait qu'une quantité est tensorielle. En particulier, les tenseurs se comportent de manière spéciale quand on fait une transformation de coordonnées. La théorie abstraite des tenseurs est une branche de l'algèbre linéaire, appelée maintenant algèbre multilinéaire.

Exemples

En Physique

En physique, un exemple simple : considérons un bateau flottant sur l'eau. On veut décrire l'effet de l'application d'une force sur le déplacement du centre du bateau dans le plan horizontal. La force appliquée peut être modélisée par un vecteur, et l'accélération que subira le bateau par un autre vecteur. Ces deux vecteurs sont horizontaux. Mais leurs directions, qui devraient être identiques pour un objet de forme ronde, ne le sont plus pour un bateau, qui est plus allongé dans un sens que dans l'autre. La relation entre les deux vecteurs, qui n'est donc pas une relation de proportionnalité, est cependant une relation linéaire, au moins si on considère une force petite. Une telle relation peut être décrite en utilisant un tenseur de type (1, 1) (1 fois contravariant, 1 fois covariant) (c'est à dire qu'ici il transforme un vecteur du plan en un autre vecteur du plan). Ce tenseur peut être représenté par une matrice (= tableau de nombres), qui, lorsqu'on la multiplie par un vecteur, donne un autre vecteur. De la même manière que les nombres qui représentent un vecteur changent quand on change de système de coordonnées, les nombres qui représentent le tenseur dans la matrice changent quand le système de coordonnées change. En sciences de l'ingénieur, on peut également décrire les tensions, les forces intérieures subies par un solide ou un fluide par un tenseur. Le mot tenseur vient effectivement du verbe tendre, qui signifie soumettre à une tension. Considérons un élément de surface à l'intérieur du matériau ; les parties du matériau situées d'un côté de la surface exercent une force sur l'autre côté de la surface (et réciproquement). En général, cette force n'est pas orthogonale à la surface, mais dépendra linéairement de l'orientation de la surface. Nous pouvons la décrire par un tenseur d'élasticité linéaire, tenseur de type (2, 0) (2 fois contravariant, 0 fois covariant), ou plus précisément, par un champ de tenseurs de type (2, 0), puisque les forces de tension varient de point à point.

En mathématiques

Les formes bilinéaires telles le tenseur métrique ou le tenseur de courbure sont des exemples bien connus de tenseurs en géométrie différentielle. Formellement, le type de tenseur dépend de la manière dont il est défini en terme de produit tensoriel. Par exemple, un tenseur d'ordre 3 pourrait avoir les dimensions 2, 5, 7. Ici les indices vont de 1, 1, 1 jusqu'à 2, 5, 7 ; donc le tenseur aura une valeur à 1, 1, 1, une autre à 1, 1, 2 et ainsi de suite pour un total de 70 valeurs. On peut écrire ce tenseur comme une suite de nombres rangés dans une matrice tridimensionnelle de taille 2
-5
-7. Le nombre de dimensions de la matrice est alors équivalent à l'ordre du tenseur. Un champ de tenseur associe un tenseur à chaque point d'une variété. Ainsi, au lieu de simplement avoir 70 valeurs, comme dans l'exemple ci-dessus, pour un tenseur de rang 3, et de dimensions 2, 5, 7 ; chaque point de l'espace serait associé à 70 valeurs. En d'autres mots, un champ de tenseur une fonction à valeur tensorielle qui a pour domaine, par exemple, l'espace euclidien.

Opérations sur les tenseurs

Les tenseurs sont des objets mathématiques, plus complexes que les nombres, mais avec lesquels on peut effectuer des opérations mathématiques.
- Multiplication par un scalaire. Le résultat est un tenseur de même ordre et de même valence. Ainsi, (a \underline\underline)_ = a \underline\underline_.
- Addition de tenseurs de même ordre et mêmes valences. Le résultat est un tenseur de même ordre et de même valence que les deux tenseurs de départ. Dans ce cas, (\underline\underline+\underline\underline)_ = \underline\underline_+\underline\underline_.
- Il existe enfin des opérations propres aux tenseurs : le produit tensoriel et le produit (tensoriel) contracté, qui peuvent s'effectuer entre tenseurs d'ordres différents, et dont le résultat est un tenseur encore d'un autre ordre : Le produit tensoriel entre A d'ordre n, et B d'ordre p produit un tenseur d'ordre (n+p). Les valences des indices respectifs sont inchangées. Quant au produit tensoriel contracté entre A d'ordre n, et B d'ordre p, il produit un tenseur d'ordre (n+p-2). La contraction du produit consiste en fait, par rapport au produit tensoriel, à réduire l'ordre du résultat de 2, par un équivalent de produit scalaire entre la dernière composante de A et la première de B. Cette analogie avec le produit scalaire est évidente lorsqu'on l'applique à des tenseurs d'ordre 1 (c'est-à-dire des vecteurs) : dans ce cas-là, le résultat est un tenseur d'ordre zéro (c'est-à-dire un scalaire) dont la valeur est justement le produit scalaire des 2 vecteurs. Une généralisation de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-4), le triple-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-6), etc. De manière générale, le p-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrire la déformation élastique des matériaux.
- abaissement d'indice : un indice haut peut être changé en un indice bas par multiplication avec le tenseur métrique, gab: Tac=gabTbc Le résultat est un tenseur de même ordre mais de valence différente : un indice contravariant est devenu covariant dans le tenseur résultat.
- élévation d'indice : un indice bas peut être changé en indice haut par multiplication avec le tenseur métrique inverse gab: Tac=gabTbc Le résultat est un tenseur du même ordre mais de valence différente : un indice covariant est devenu contravariant dans le tenseur résultat.
- contraction : égalisation d'un indice covariant et un indice contravariant : Ta = Tacc (On utilise la convention d'Einstein, le signe somme sur l'indice c est sous-entendu) Le résultat est un tenseur d'ordre n-2 où n est l'ordre du tenseur de départ. La valence des autres indices est inchangée.

Opérations sur les champs de tenseurs

- Gradient : le gradient d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n+1. Les n premiers indices ont la même valence que le tenseur de départ. L'indice supplémentaire est covariant. C'est une sorte de dérivée spatiale.

Changements de base

Vecteurs d'un espace à 3 dimensions

Dans la base B (\vec_1, \vec_2, \vec_3), les composantes du vecteur \vec u sont (u1, u2, u3). Dans la base B' (\vec_1, \vec_2, \vec_3), elles sont (u1, u2, u'3). On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations. Dans la base B, les vecteurs de la base B' s'écrivent : :\vec_ = e_\cdot \vec_ + e_\cdot \vec_ + e_\cdot \vec_ Par définition d'une base, chaque vecteur \vec_ se décompose selon une combinaison linéaire unique des vecteurs de B'. On peut ainsi définir la matrice de changement de base P de B vers B' : : P = \begin e_ & e_ & e_ \\ e_ & e_ & e_ \\ e_ & e_ & e_ \end les colonnes de la matrice de changement de base sont les coordonnées des vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle. On a alors :(u_, u_, u_) = P \cdot (u'_, u'_, u'_) et :(u'_, u'_, u'_) = P^ \cdot (u_, u_, u_). Lorsque les deux bases B et B' sont orthonormées, P vérifie en outre : P^ = ^\rm tP. Le changement de base se fait par multiplication d'une seule matrice de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 1.

Matrices et applications linéaires

Une matrice M représente une application linéaire ƒ d'un espace vers un autre pour une base donnée dans chaque espace. On peut donc changer de base dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. On peut donc définir deux matrices, P1 et P2 pour chacun des espaces. La matrice M' représentant ƒ pour les deux nouvelles bases se calcule donc en faisant :M' = ^\rm tP_ \cdot M \cdot P_ Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 2.

Composantes covariantes et contravariantes

Convention d'Einstein

Un tenseur peut avoir des composantes covariantes et contravariantes, ce qui explique que certains indices soient notés en haut et d'autres en bas, par exemple Tlmn. On adopte souvent la convention de notation d'Einstein qui consiste à sommer lorsqu'un indice se trouve en haut et en bas dans un produit, par exemple :\sum_ p^_\cdot u_ et \sum_ p^_\cdot f^\ j se notent respectivement :p^_\cdot u_ et p^_\cdot f^\ j

Formes linéaires et changement de base

Considérons un espace à trois dimensions muni d'une base non orthogonale (on va la supposer normée pour simplifier la présentation). En effet, il y a de nombreux exemples dans la nature où il y a des axes « naturels » qui ne sont pas orthogonaux, par exemples les axes de certains cristaux. En fait, lorsqu'un phénomène est anisotrope, on peut souvent trouver des axes dits « principaux » pour lesquels les calculs se simplifient, et ces axes ne sont pas toujours orthogonaux. Considérons une forme linéaire ƒ sur cet espace, qui à un vecteur \vec u associe un scalaire :f(\vec u) = f^\cdot u_ + f^\cdot u_ + f^\cdot u_ (les indices relatifs à la forme linéaire sont notés en haut pour permettre de les distinguer). Considérons la base (\vec^\
-i), dite « base duale », définie par :\vec^\
-1 = \vec_\wedge \vec_ :\vec^\
-2 = \vec_\wedge \vec_ :\vec^\
-3 = \vec_\wedge \vec_ on a alors :\vec_ \cdot \vec^\
-j = \delta_^j (symbole de Kronecker) soit :\vec_ \cdot \vec^\
-j = 1 si i = j :\vec_ \cdot \vec^\
-j = 0 sinon Si l'on définit le vecteur :\vec = f^ \cdot \vec^\
-1 + f^ \cdot \vec^\
-2 + f^ \cdot \vec^\
-3 on peut alors écrire :f(\vec u) = \vec \cdot \vec u La base des fonctions g i « produit scalaire par \vec^\
-i » :g^i\ : E \rightarrow \mathbb ::\vec u \mapsto \vec^\
-i \cdot \vec u est une base des formes linéaires de l'espace ; on identifie souvent cette base de fonctions (g i ) avec la base de vecteurs (\vec^\
-i) elle-même. L'espace vectoriel formé par les formes linéaires est appelé « espace dual » ou « espace réciproque ». Si l'on fait un changement de base de l'espace direct, alors les composantes du vecteur \vec u se transforment selon :u_ = \sum_ p^_\cdot u_ où
p ji est le coefficient de la matrice de changement de base (noté eji
dans le paragraphe précédent). En revanche, les composantes de \vec se transforment selon :f^ = \sum_ p^_\cdot f^ on voit que dans le cas du changement de la base de formes linéaires, on multiplie par la matrice de changement de base, alors que dans le cas du changement de la base de vecteurs, on multiplie par sa transposée. On voit donc que l'on a deux types de composantes. D'une part des composantes de type « vecteur », notées avec un indice en bas (par exemple ui ), obtenues par projection du vecteur sur les axes parallèlement aux autres axes, et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la transposée de la matrice de changement de base (P). Ces composantes sont dites contravariantes. D'autre part des composantes de type « forme linéaire », notées avec un indice en haut (par exemple ƒi ), obtenues par projection sur les axes perpendiculairement aux axes (\vec^\
-2 et \vec^\
-3 sont perpendiculaires à \vec_), et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la matrice « directe » de changement de base (P). Ces composantes sont dites covariantes. D'après la formule de changement de base des matrices, on voit que celles-ci sont une fois covariantes, une fois contravariantes, on devrait donc noter Mi j. Toutefois, on n'utilise que rarement cette notation tensorielle pour les matrices.

Symétrie

Dans le cas de l'ordre 2, un tenseur peut être symétrique ou antisymétrique. Pour un tenseur symétrique, on a la relation Tab = Tba. Pour un tenseur antisymétrique, on a la relation Tab = -Tba. En général, un tenseur n'est ni symétrique, ni antisymétrique. Un tenseur quelconque peut être décomposé en une partie symétrique S et une partie antisymétrique A, avec les relations :
- Sab = 1/2(Tab + Tba )
- Aab = 1/2(Tab - Tba ) Les parties symétriques et antisymétriques réunies rassemblent autant d'information que le tenseur originel. Cette règle peut être étendue aux tenseurs d'ordre quelconque. On dira alors que le tenseur est symétrique pour une paire d'indice, s'il est invariant par échange des deux indices, et qu'il est antisymétrique pour une paire d'indice s'il se transforme en son opposé par échange des deux indices. Les indices de la paire considérée doivent avoir même valence. Dans le cas particulier d'un espace vectoriel de dimension 3, un tenseur antisymétrique d'ordre 2 porte le nom de pseudovecteur.

Voir aussi

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Sujets connexes
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