Espace préhilbertien

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Un espace préhilbertien est un espace vectoriel de dimension quelconque (éventuellement infinie) muni d'une structure additionnelle qui permet, entre autres, la généralisation de concepts issus de la géométrie euclidienne à deux ou trois dimension. Cette structure associe à chaque paire de vecteurs un nombre appelé produit scalaire des vecteurs. Il permet d'introduire de façon rigoureuse des notions géométriques intuitives telles que les angles entre vecteurs ou la
Espace préhilbertien

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel de dimension quelconque (éventuellement infinie) muni d'une structure additionnelle qui permet, entre autres, la généralisation de concepts issus de la géométrie euclidienne à deux ou trois dimension. Cette structure associe à chaque paire de vecteurs un nombre appelé produit scalaire des vecteurs. Il permet d'introduire de façon rigoureuse des notions géométriques intuitives telles que les angles entre vecteurs ou la longueur d'un vecteur, ceci dans un espace de dimension quelconque. Il introduit également le concept d'orthogonalité entre vecteurs. Les espaces préhilbertien généralisent les espaces euclidiens et sont étudiés en analyse fonctionnelle. Tout produit scalaire admet une norme qui lui est naturellement associée, ce qui fait des espaces préhilbertiens des cas particuliers d'espaces vectoriels normés. Ainsi, si la norme associée fait de l'espace un espace complet, celui-ci est appelé espace de Hilbert et est un cas particulier très important d'espace préhilbertien.

Définition

Dans la suite de l'article, on convient que le corps de base K des espaces vectoriels est R ou C. Un produit scalaire est formellement une forme sesquilinéaire définie positive non dégénérée, et donc dans le cas réel une forme symétrique définie positive non dégénérée.

Exemples

L'espace des fonctions continues de dans C muni du produit scalaire : : \langle f , g \rangle = \int_a^b f(t) \overline \mu(dt) : forme un espace préhilbertien. Cet espace n'est pas complet. Par exemple si a=-1 et b=1, la suite f_n définie par f_n(x)=max(-1, min(nx, 1)) est une suite de Cauchy qui n'est pas convergente.

Les propriétés des espaces préhilbertiens

Un certain nombre de propriétés sont partagées par tous les espaces préhilbertiens, qu'ils soient réels ou complexes, de dimension finie ou non. Mais certaines propriétés sont propres à la dimension finie, d'autres au caractère réel du corps de base. Le but de ce paragraphe est de trier ces propriétés selon leur catégorie. Le lecteur est censé posséder les connaissances contenues dans l'article produit scalaire.

Propriétés communes

Les propriétés ne faisant pas appel au caractère réel ou complexe du corps de base ou à la dimension finie ou non de l'espace sont les suivantes :
- Le fait d'être un espace vectoriel normé, au moyen de la norme euclidienne \|x\| = \sqrt
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz : |(x|y)|\le||x||.||y||
- L'inégalité de Minkowski dite aussi inégalité triangulaire : \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|
- Le théorème de Pythagore : si x et y sont orthogonaux, alors \|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2
- L'identité du parallélogramme : \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2
- Le fait qu'un sous-espace vectoriel et son orthogonal soient en somme directe.

Propriétés propres au cas réel

- La réciproque du théorème de Pythagore : si \|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2 , alors x et y sont orthogonaux. Dans le cas complexe, on a seulement \Re(x|y) = 0 (où \Re désigne la partie réelle), et non (x|y) = 0.
- L'identité de polarisation : (x|y) = 1/4 ( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 "demonstration" : on a \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2(x|y) et \|x-y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2(x|y) . Alors en additionnant les deux relations on obtient l'identité du parallélogramme et en retranchant la seconde à la première on obtient l'identité de polarisation. La formule n'est pas la même dans le cas complexe.

Propriétés vraies en dimension finie

- Le fait qu'un sous-espace vectoriel et son orthogonal soient supplémentaires. En dimension infinie, bien qu'étant en somme directe, la somme d'un sous-espace et de son orthogonal peut ne pas redonner l'espace total.
- Le fait que l'orthogonal de l'orthogonal d'un sous-espace soit égal à ce sous-espace. En dimension infinie, le second peut être strictement inclus dans le premier.
- Le fait que toute forme linéaire fpuisse être définie à partir du produit scalaire : il existe y tel que \forall x, f(x) = (y|x). Cette propriété est essentielle pour pouvoir définir l'adjoint d'un endomorphisme. En dimension infinie, une forme linéaire sur un espace préhilbertien peut ne pas pouvoir être définie d'une telle façon.
- Le fait d'être un espace normé complet (à vérifier si le corps des scalaires n'est pas complet) (ou espace de Banach). Un espace préhilbertien de dimension infinie peut ne pas être complet. En dimension infinie, les espaces de Hilbert sont des espaces préhilbertiens particuliers comblant les lacunes des espaces préhilbertiens. Leurs propriétés sont très proches des espaces euclidiens de dimension finie. Catégorie:Géométrie euclidienne Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Espace vectoriel normé de:Prähilbertraum en:Inner product space he:מרחב מכפלה פנימית ja:計量ベクトル空間 nl:Inwendig product pl:Iloczyn skalarny zh:内积空间
Sujets connexes
Adjoint d'un endomorphisme   Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Angle   Espace complet   Espace de Banach   Espace de Hilbert   Espace euclidien   Espace vectoriel   Espace vectoriel normé   Forme sesquilinéaire   Inégalité de Cauchy-Schwarz   Inégalité de Minkowski   Inégalité triangulaire   Longueur   Norme (mathématiques)   Produit scalaire   Somme directe   Théorème de Pythagore  
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