Masse fluide en rotation

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Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M , de masse volumique \rho. Le problème est de trouver sa forme. Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin(1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati. Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents. Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses ( Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan, ...) jusqu'à nos jours. Histor
Masse fluide en rotation

Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M , de masse volumique \rho. Le problème est de trouver sa forme. Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin(1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati. Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents. Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses ( Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan, ...) jusqu'à nos jours. Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.

La solution de Maclaurin

Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a , d'excentricité e. La rotation est caractérisée par le paramètre m = \omega^2 a/ (GM/a^2). Comme le volume est donné, V = 4/3. Pi.a².b , m est proportionnel à \omega^2/ \pi G \rho La solution donnée par Maclaurin est : \omega^2/ \pi G \rho = arcsin(e) \cdot 2\frac + 6 -6/e^2. A dire vrai , il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = 2/5.M.a^2.\omega est donné. Alors L =f(e) est monotone. Néanmoins Jacobi montrera que si L augmente , pour e = 0.58 , cette forme d'ellipsoïde de révolution est instable : la symétrie de révolution est brisée.

Voir aussi

- géoïde
- figure de la Terre
- ellipsoïde de révolution
- Chandrasekhar: ellipsoidal figures of equilibrium ( Dover, 1987)
- Landau , tome 2 , loi de Newton(§99). Catégorie:Mécanique classique
Sujets connexes
Ellipsoïde   Ellipsoïde de révolution   Figure de la Terre   Géoïde  
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