Théorème de Millman

Image:theoreme de millman.png Le théorème de Millman est ainsi nommé en l'honneur de l'électronicien Américain Jacob Millman. Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances. V_m=\frac\sum_^N E_k.Y_k\sum_^N Y_k=\frac\sum_^N \frac\sum_^N \frac Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances : V_m=\frac\sum_^N E_k.G_k\sum_^N G_k=\frac\sum_^N \frac\sum_^N \frac Avec G, la conductance.

Démonstration du Théorème de Millman

On considère le schéma ci-dessus. Comme les branches (Zk ; Ek) sont en parallèle, on travaille avec les admittances Y_=\frac et des transformations Thévenin-Norton : IN_=E_ \times Y_ (convention générateur) Pour chaque branche (source de tension et impédance), on obtient, d'après la loi d'ohm : I_=Y_ \times (V_-E_) Ensuite, d'après la loi des nœuds, on a : \sum_^N I_=0 soit \sum_^N Y_ \times (V_-E_)=0 en développant : \sum_^N Y_ \times V_ = \sum_^N Y_ \times E_ d'où : V_ = \frac\sum_^N E_ . Y_\sum_^N Y_=\frac\sum_^N \frac\sum_^N \frac Cas pratique : Ce théorème est agréable à utiliser si de plus V_ est nulle (par exemple, la tension différentielle d'un AOP en régime linéaire).

Voir aussi

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