Transformée de Fourier

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En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une séri
Transformée de Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique. La transformée de Fourier \mathcal est une opération qui transforme une fonction intégrable en une autre fonction, décrivant le spectre en fréquences de f. Si f est une fonction intégrable, sa transformée de Fourier est la fonction F(f) et donnée par la formule : F(f):s\mapsto \hat(s) = \int_-\infty^+\infty f(x)\, e^\, dx L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables f d'une variable réelle x. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions F(f) d'une variable réelle s. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on dit que x est la variable temps, que f est dans le domaine temporel, que s est la fréquence et que F est dans le domaine fréquentiel. La formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée TF -1, est celle qui permet (sous conditions) de retrouver f à partir du spectre : :f(x) = 1 \over 2\pi\, \int_-\infty^+\infty F(w)\, e^\, dw En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Le cadre le plus naturel pour définir les transformées de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformée de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

Si f est une fonction intégrable sur \mathbb, sa transformée de Fourier est donnée par la formule : F(s) = \hat(s) = \int_-\infty^+\infty f(x)\, e^\, dx Mais on peut aussi utiliser cette formule :F(s) = 1 \over 2\pi\, \int_-\infty^+\infty f(x)\, e^\, dx F est aussi parfois notée \mathcal\f\ ou TF(ƒ). La transformée de Fourier se généralise à de nombreux groupes, on peut citer les groupes abéliens localement compacts (cf Dualité de Pontryagin) ou plus simplement les groupes abéliens finis (cf analyse harmonique sur un groupe abélien fini). La base utilisée n'est plus celles des fonctions exponentielles imaginaires mais les éléments du groupe dual.

Propriétés

- cette transformation est linéaire
- la transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par :\|\hat\|_\infty\leq \|f\|_1
- par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f
- la transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne.
- on peut tenter d'appliquer un théorème de dérivation sous intégrale : si la fonction g(x)=-ixf(x) est elle aussi intégrable, alors la dérivée de \hat est la transformée de Fourier de g.
- si f est dérivable, de limite nulle à l'infini, et si la dérivée de f est intégrable, alors \hat(s)=is \hat(s) est la transformée de Fourier de la dérivée de f . On peut résumer les deux dernières propriétés : sous conditions d'existence, la transformation de Fourier échange dérivation et multiplication par (plus ou moins) ix. C'est justement pour s'affranchir de ces conditions d'existence désagréables qu'il sera nécessaire d'élargir la classe des fonctions sur lesquelles opère la transformation de Fourier.

Inversion de Fourier

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable et selon la transformée de Fourier que l'on utilise, la formule d'inversion est: :f(x) = \int_-\infty^+\infty F(s)\, e^\, ds ou bien :f(x) = 1 \over 2\pi\, \int_-\infty^+\infty F(s)\, e^\, ds Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le -i devenu i. boîte déroulante|titre=Preuve par l'analyse non standard|contenu= Soit f est une fonction de classe C^\infty à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand T tel que pour tout réel |x|>T, f(x)=0. Introduisons une base orthonormée totale de l'espace de Hilbert L^2 donnée par : :e_n:x\mapsto \frac\sqrte^in\pi x/T Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire : :f=\sum_\mathbf Zc_ne_n où c_n=\int_^Tf(x)\frac\sqrte^-in\pi x/Tdx=\frac\sqrt\widehat\left(\fracn\pi\right) Plus explicitement : :f(x)=\frac2\pi\sum_\mathbf\widehat\left(\fracn\pi\right)e^-in\pi/T\frac\pi=\frac2\pi\int_^T\widehat\left(w\right)e^ La dernière égalité vient de ce que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite (\pi/T). L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standards de classe C^\infty à support compact. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C^\infty à support compact et de suite par densité pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable.

Extension à l'espace \mathbb^n

Si f est une fonction intégrable sur \mathbb^n, sa transformée de Fourier est donnée par la formule : F(s) = \hat(s) = \int f(x)\, e^-i s\cdot x\, dx L'intégrale est prise sur l'espace entier et le point désigne le produit scalaire entre s et x. Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable : :f(x) = \int_-\infty^+\infty F(w)\, e^\, dw

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. On se place donc sur l'espace de fonctions L^2(\mathbb), muni de sa norme canonique. Pour des raisons qui apparaîtront claires, on modifie légèrement la convention sur la transformée de Fourier dans cette section. Soit f une fonction de carré sommable sur \mathbb et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à : :\hat_A(s)=\frac1\sqrt2\pi\int_^A f(x)\, e^\, dx Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions \hat_A convergent en moyenne quadratique vers une fonction qu'on note \hat et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de f. En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction \hat est elle-même de carré sommable et :f = \undersetA \mapsto +\infty\lim\limits_\|\;\|_2 \left Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est une isométrie \|f\|_2 = \|\hat\|_2 En physique, on interprète le terme |\hat(w)|^2 figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance. La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. En effet, On peut montrer que l'application \mathcal F : L_2 \mapsto L_2 prolonge l'application qui a une fonction f, intégrable, associe sa transformée de Fourier. On se place alors sur l'espace L_1 \cap L_2 \, sur lequel la transformée de Fourier est bien définie et qui est dense dans L_2\, . Comme L_2\, est un espace de Banach, on a l'unicité de \mathcal F.

Lien avec le produit de convolution

Les transformées de Fourier ont des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. Ainsi :
- \widehat(t)=\widehat f(t)\cdot \widehat g(t)
- Si f, g \in L_1(\mathbb R), f
-g \in L_1(\mathbb R) et \|f
-g\|_ \le \|f\|_ \cdot \|g\|_
- Si f \in L_1(\mathbb R), g \in L_2(\mathbb R), f
-g \in L_2(\mathbb R) et \|f
-g\|_ \le \|f\|_ \cdot \|g\|_

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

Liens avec d'autres transformations

Lien entre transformation de Fourier et transformation de Laplace

Si l'on note \mathcal la transformée de Laplace, alors : \mathcal\f\(s) = \mathcal\f^+\(2i\pi s) + \mathcal\f^-\(-2i\pi s) où les fonctions f^+(t) et f^-(t) sont définies par : : f^+(t) = f(t) si t ≥ 0 et 0 sinon. : f^-(t) = f(-t) si t ≥ 0 et 0 sinon.

Parallèles avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration t est remplacée par nΔt, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. : X(f)=\Delta t \sum_n=-\infty^\infty x(n)e^-i2\pi fn\Delta t ↔ x(t)=\int_ X(f)e^i2\pi ftdf On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes : F=f \over f_e=f \Delta t = f|_\Delta t=1, \Omega =e\pi F=2\pi f\Delta t=\omega\delta t|_\Delta t=1 | class="wikitable" ! Transformation de Fourier (analyse) !! Transformation inverse (synthèse) |- | X(f)=\Delta t \sum_n=-\infty^\infty x(n)e^-i2\pi fn\Delta t || x(n)=\int_ X(f)e^i2\pi fn\Delta tdf |- | X(w)=\Delta t \sum_n=-\infty^\infty x(n)e^-i\omega n\Delta t || x(n)=1 \over 2\pi \int_\omega_2=2\pi f_eX(w)e^iwn\Delta tdw |- | X(F)=\sum_n=-\infty^\infty x(n)e^-i2\pi nF || x(n)=\int_1 X(f)e^i2\pi nFdF\, \! |- | X(\Omega)=\sum_n=-\infty^\infty x(n)e^-in\Omega || x(n)=1 \over 2\pi\int_2\pi X(\Omega)e^in\Omegad\Omega |

Références

- Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Editions de l'École Polytechnique
- Srishti D. Chatterji Cours d'analyse, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 1998

Voir aussi

- Densité spectrale de puissance
- Produit de convolution
- Transformation de Fourier rapide
- Transformation de Fourier discrète
- Transformation de Laplace

Lien externe

- Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Théorie de l'intégration Catégorie:Mécanique ondulatoire Catégorie:Spectroscopie Catégorie:Théorie de Fourier ar:تحويل فوريي be-x-old:Пераўтварэнне Фур'е cs:Fourierova transformace da:Fouriertransformation de:Fourier-Transformation en:Fourier transform es:Transformada de Fourier eu:Fourierren transformaketa fa:تبدیل فوریه fi:Fourier'n muunnos gl:Transformada de Fourier id:Transformasi Fourier is:Fourier–vörpun it:Trasformata di Fourier ja:フーリエ変換 ko:푸리에 변환 nl:Fouriertransformatie no:Fouriertransformasjon pl:Transformacja Fouriera pt:Transformada de Fourier ro:Transformata Fourier ru:Преобразование Фурье simple:Fourier transformation sr:Фуријеова трансформација sv:Fourier-transform th:การแปลงฟูริเยร์ tr:Fourier dönüşümü vi:Biến đổi Fourier zh:傅里叶变换
Sujets connexes
Analyse harmonique sur un groupe abélien fini   Analyse non standard   Analyse spectrale   Caractère d'un groupe fini   Carré sommable   Changement de variable   Densité spectrale de puissance   Diffraction   Dualité de Pontryagin   Dérivation sous intégrale   Espace de Banach   Gaussienne   Groupe fini   Intégrabilité   Laurent Schwartz   Michel Plancherel   Produit de convolution   Spectre d'ondes planes   Théorème de Plancherel   Théorème de Riemann-Lebesgue   Transformée de Fourier discrète   Transformée de Fourier rapide   Transformée de Laplace  
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