Fonction mesurable

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Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu \mathfrak et \mathfrak . Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de (E, \mathfrak) dans (F, \mathfrak) si l'image réciproque de la tribu \mathfrak est une sous-tribu de \mathfrak .
Fonction mesurable

Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu \mathfrak et \mathfrak . Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de (E, \mathfrak) dans (F, \mathfrak) si l'image réciproque de la tribu \mathfrak est une sous-tribu de \mathfrak .

Applications à valeurs réelles

Il est à noter que si F est l'ensemble des réels et si \mathfrak est la tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E, \mathfrak) . Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque de tout ouvert est dans \mathfrak .

Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives

Soit E un espace mesurable et (f_n) \; une suite de fonctions mesurable de E dans \mathbb_+ alors la fonction f \; définie par f = \sup_n f_n l'est également. Démonstration: on considère pour cela l'image réciproque de ]a, +\infty est aussi mesurable. Les intervalles de la forme a, b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD Si les fonctions fn de X dans \mathbb_+ sont toutes mesurables, la fonction inf fn l'est également, ainsi que les fonctions liminf fn, limsup fn. En particulier, si la limite existe elle est mesurable. Les démonstrations sont du même type. Catégorie :Théorie de la mesure Catégorie : Probabilités de:Messbare Funktion en:Measurable function it:Funzione misurabile pl:Funkcja mierzalna pt:Função mensurável ru:Измеримая функция
Sujets connexes
Ensemble   Espace mesurable   Image réciproque   Réel   Tribu (mathématiques)   Tribu borélienne  
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