Développement décimal de l'unité

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Le nombre 0, 99999... se répétant à l'infini. Le développement décimal de l'unité est une curiosité mathématique qualifiée de paradoxe en raison de son caractère contre-intuitif. Il correspond à l'égalité entre les deux écritures du développement décimal de l'unité : :1 = 0, \underline, avec 0, \underline = 0, 99999...
Développement décimal de l'unité

Le nombre 0, 99999... se répétant à l'infini. Le développement décimal de l'unité est une curiosité mathématique qualifiée de paradoxe en raison de son caractère contre-intuitif. Il correspond à l'égalité entre les deux écritures du développement décimal de l'unité : :1 = 0, \underline, avec 0, \underline = 0, 99999...

Première démonstration (via résolution d'une équation)

On pose la variable x : :x = 0, \underline En multipliant par 10, il s'ensuit que : :10x = 9, \underline On procède à une soustraction entre les deux équations précédentes : :9x = 9, \underline - 0, \underline = 9 Il en résulte que : :9x = 9 \Rightarrow x = 1

Explication

Le côté contre-intuitif de ce raisonnement tient au fait que, dans notre esprit, l'écriture 0, \underline = 0, 99999... correspond à une suite finie de 9 (c'est-à-dire 0, 9999...9). Ainsi la multiplication par 10 puis le résultat de la soustraction choque l'esprit et semble faux (qui le serait d'ailleurs si la suite de 9 était finie).

Deuxième démonstration (via des fractions)

On pose l'égalité issue de l'algorithme de la division : :\frac = 0, \underline En multipliant par 3, il vient : :\frac = 3 \times 0, \underline Il s'ensuit que : : 1 = 0, \underline

Troisième démonstration (avec une série)

Formalisation de 0, 99999…

Pour une démonstration plus rigoureuse, il faut commencer par définir parfaitement ce qu'est 0, 999… En écrivant 0, 99999… = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + … , on définit 0, 99999… comme une série géométrique de premier terme a = 0, 9 et de raison q = 1/10. Ainsi : 0, \underline = 0, 99999\ldots = \lim_n \to \infty \sum_^ 0, 9 \times \frac

Démonstration par la limite de la série

On peut aisément montrer que la somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme a vaut : S_n = a \times \frac Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini, si et seulement si q est strictement plus petit que 1, et cette limite est alors : S = \frac Ici, a = 0, 9, q = 1/10, q est plus petit que 1, donc la limite existe et vaut S = \frac = 1 Le paradoxe illustré par l'exemple de l'unité est que tout nombre décimal, c'est-à-dire admettant un développement décimal fini, admet également un développement infini (formé uniquement de 9 à partir d'un certain rang). Le développement fini est l'écriture propre, celui comportant une infinité de 9 est l'écriture impropre. Finalement, ce sont les objets apparemment les plus simples en écriture décimale qui offrent les pires complexités : on croit que 1 est plus simple à écrire en écriture décimale que Pi, et pourtant Pi admet une écriture unique, alors que 1 en admet deux. (!) Il est important de se souvenir que l'écriture décimale n'est qu'une des multiples manières de représenter un nombre en mathématiques.

Voir aussi

- Développement décimal
- Décimale récurrente
- 1 (nombre)
- Nombre réel Developpement decimal de l'unite be:0, (9) el:0, 999... en:0.999... es:0, 9 periódico fi:0, 999... ja:0.999... ka:0.999... nov:0.999... pl:0, (9) pt:0, 999... ro:0, (9) ru:0, (9) sl:0, 999... sv:0, 999... th:การพิสูจน์ว่า 0.999... เท่ากับ 1 zh:证明0.999...等于1
Sujets connexes
Division   Décimale récurrente   Développement décimal   Limite (mathématiques)   Nombre décimal   Nombre réel   Paradoxe   Pi   Système décimal   Série (mathématiques)   Série géométrique  
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