Produit (mathématiques)

Infos
On nomme produit de nombres entiers, réels, complexes ou autres le résultat d'une multiplication, ou expression qui identifie les facteurs à multiplier. L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance; ainsi nulle permutation de termes ne modifie le résultat du produit. Ces propriétés sont nommées commutativité de la loi et associativité de la loi de multiplication.
Produit (mathématiques)

On nomme produit de nombres entiers, réels, complexes ou autres le résultat d'une multiplication, ou expression qui identifie les facteurs à multiplier. L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance; ainsi nulle permutation de termes ne modifie le résultat du produit. Ces propriétés sont nommées commutativité de la loi et associativité de la loi de multiplication. Le produit matriciel n'est en revanche pas commutatif.

Cas simples et notations

Principe pour les entiers décimaux

Dans le cas des nombres entiers, la multiplication revient à faire des additions identiques, par exemple : : 7 + 7 + 7 + 7 + 7 peut se noterla croix de multiplication peut s'obtenir
- en Unicode, par le caractère U+00D1 ;
- en HTML, par l'entité × ou &
-215; ;
- en LaTeX, dans l'environnement mathématiques ($…$ ou \), par la commande \times : 5 × 7 Dans ce cas, le résultat est 35. Comme le nombre 7 est répété 5 fois, on peut dire « 5 fois 7 » et comme l'ordre des facteurs n'influe pas, on dit également « 7 fois 5 ». Cette opération peut aussi se noter nous avons utilisé ici le point médian ; si l'on utilise la virgule comme séparateur décimal, ce qui est le cas dans la convention francophone, on peut utiliser le point sur la ligne, mais l'utilisation du point médian est indispensable lorsque l'on utilise le point comme séparateur décimal (convention anglo-saxonne) ; le point médian multiplicateur peut s'obtenir :
- en Unicode, par le caractère U+22C5 ;
- en HTML, par l'entité ⋅ (scalar dot) ou &
-8901; ;
- en LaTeX, par \textperiodcentered, et dans l'environnement mathématiques ($…$ ou \), par la commande \cdot : 5 · 7 = 35 ou bien :\begin & \ 5 \\ \times & \ 7 \\ & \overline \end Lorsque l'on multiplie des inconnues, on peut simplement accoler les symboles pour marquer la multiplication : : la multiplication de a par b peut se noter indifféremment a×b, a·b ou ab. En programmation informatique, les langages utilisent en général l'astérisque «
- » (signe étoile) : : 5
-7 Le résultat peut être obtenu:
- par additions successives (fréquent pour les petits nombres, mais rapidement inutilisable)
- par une table de multiplication
- par l'exécution d'un algorithme (de tête, à la main avec un instrument d'écriture, ou à l'aide d'une calculateur). Il existe pour cela des méthodes qui font partie du bagage culturel, et d'autres qui sont des objets de recherche.

Principe pour les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre entier qui a été divisé par une puissance de dix (1 — c'est alors un entier —, 10, 100, 1 000…). La distributivité de la multiplication sur la division permet de calculer les multiplications de nombres décimaux comme celle des nombres entiers :
- on ignore les virgules et l'on multiplie les nombres comme si c'étaient des entiers ;
- le nombre de chiffres après la virgules du résultat final est la somme du nombre de chiffre après la virgule du multiplicande et du multiplicateur. Par exemple : : pour calculer 5, 3×0, 21 :
- on calcule 53×21, ce qui donne 1 113 ; :
- le multiplicateur a un chiffre après la virgule, le multiplicande en a deux, le résultat en a donc trois (1+2) : le résultat final est 1, 113.

Vocabulaire

Le premier membre de l'opération est nommé par convention multiplicande et le second multiplicateur; cette distinction n'a pas de conséquence fonctionnelle, à la différence de celle de dividende et de diviseur.. : multiplicande × multiplicateur

Définition mathématique

Généralisation

Plus généralement, un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour une loi interne multiplicative. Lorsque des matrices ou des objets de diverses autres algèbres associatives sont multipliés, le produit dépend en général de l'ordre des facteurs; en d'autres termes, la multiplication des matrices, et les lois de multiplication de ces autres algèbres, ne sont pas commutatives. Des généralisations et des extensions du concept de produit existent en mathématiques :
- le produit scalaire et le produit vectoriel sont des sortes de multiplications de vecteurs ;
- le produit matriciel, la multiplication des matrices n'est pas commutative sauf sur des sous-ensembles triviaux;
- le produit usuel de deux fonctions ;
- les produits dans des anneaux ou dans des corps de toutes sortes. Il faut noter que des multiplications respectant l'invariance des normes (la norme du produit de deux objets est égale au produit de leur norme) n'ont pu être définies que pour quelques objets: les réels, les complexes, les quaternions et les octonions.

Produit indicé

Le produit peut être noté ∏ (pi capitale) Ce signe peut s'obtenir
- en HTML, par l'appel ∏ ;
- en LaTeX, dans l'environnement mathématiques ($…$ ou \), par la commande \prod_^ lorsque de nombreux facteurs indicés interviennent. Par exemple, si l'on considère une suite (u_n)_n \in \N, alors : \prod_^N u_i = u_1 \times u_2 \times \cdots \times u_N

Notes

Voir aussi

- Technique de multiplication
- Produit scalaire
- Produit vectoriel
- Produit cartésien catégorie:Arithmétique élémentaire catégorie:Algèbre de:Produkt (Mathematik) en:Product (mathematics) eo:Produto no:Produkt (matematikk) simple:Product (mathematics) sl:Zmnožek sv:Produkt (matematik) uk:Добуток
Sujets connexes
Addition   Algorithmique   Algèbre associative   Anneau (mathématiques)   Associativité   Astérisque   Capitale et majuscule   Commutativité   Corps (mathématiques)   Facteur (mathématiques)   LaTeX   Langage informatique   Loi de composition interne   Mathématiques   Matrice (mathématiques)   Nombre   Nombre complexe   Nombre décimal   Nombre réel   Norme (mathématiques)   Octonion   Pi (lettre grecque)   Point (signe)   Point médian   Produit cartésien   Produit matriciel   Produit scalaire   Produit vectoriel   Quaternion   Suite (mathématiques)   Table de multiplication   Unicode   Vecteur   Virgule  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^