Division

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La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce nombre". On distingue couramment la division "exacte" (celle dont on parle ici) de la division "avec reste" (la division euclidienne). Le résultat d'une division s'appelle le quotient.
Division

La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce nombre". On distingue couramment la division "exacte" (celle dont on parle ici) de la division "avec reste" (la division euclidienne). Le résultat d'une division s'appelle le quotient.

Problématique

La division sert
- à faire un partage équitable entre un nombre de parts déterminé à l'avance, et donc à déterminer la taille d'une part. Par exemple : :Question : Si on répartit équitablement 500 grammes de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elle obtiendra-t-elle ? :Réponse : \frac = 62, 5, chacun obtient 62, 5 grammes de poudre de perlimpimpin
- à déterminer le nombre de parts possible, d'une taille déterminée à l'avance. Par exemple : :Question : Si on répartit 500 grammes de poudre de perlimpimpin par tranche de 70 g, combien de personnes pourra-t-on servir ? :Réponse : \frac = 7, 14.. , on pourra servir 7 personnes et il restera de quoi servir 1/7 de personne (...)

Vocabulaire et notations - historique

Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). Par exemple, a divisé par b se note \frac ab. Le dénominateur donne la dénomination et le numérateur énumère : \frac 34 indique qu'il s'agit de quarts, et qu'il y en a trois → "trois quarts" Diophante et les Romains, au écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les Indiens également au et la notation moderne fut adoptée par les Arabes. Le symbole : a été plus tard utilisé par Leibniz. Les fabricants de calculatrices impriment les symboles ÷ ou / sur la touche « opérateur division ». L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture « en ligne » utilisée en imprimerie ou sur un écran. Aujourd'hui en France, en classe de 6 de collège, les notations ÷, :' et / sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut d'opération. Une nuance de sens est communément admise :
- a ÷ b et a : b désignent une opération (non effectuée), et le vocabulaire approprié est dividende pour a et diviseur pour b ;
- \frac et a / b désignent l'écriture fractionnaire du résultat de cette opération, et le vocabulaire approprié est numérateur pour a et dénominateur pour b.

Définition

Étant donné un anneau intègre (A, +, ×), la division sur A est la loi de composition : A\times A \to A, notée par exemple « ÷ », telle que \forall (a, b, c)\in A\times A\times A, a ÷ b = c si et seulement si b × c = a. L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur A\times(A-\0\) si et seulement si A est un corps, et en aucun cas définie pour b = 0. Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble A en posant que \forall (a, b)\in A\times A, a ÷ b est un nombre de cet ensemble étendu. On construit ainsi le corps engendré par l'anneau A. C'est ainsi que l'on construit \mathbb à partir de \mathbb. Une construction plus rigoureuse de \mathbb le définit comme l'ensemble quotient de \mathbb\times (\mathbb-\0\) par la relation d'équivalence R définie par \forall ((a, b), (a', b')), (a, b)R(a', b') \iff ab'=a'b. Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent. Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans a, combien de fois b). Le problème de définition ne se pose plus, puisque \forall (a, b)\in \mathbb\times(\mathbb-\0\), \n\in\mathbb\ |\ b\times n
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Anneau intègre   Arabes   Associativité   Commutativité   Construction des nombres rationnels   Corps (mathématiques)   Divisibilité   Division euclidienne   Division par zéro   Fraction   Inde   Inverse   Loi de composition interne   Modulo   Nombre décimal   Relation d'équivalence  
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