Anneau principal

Infos
En mathématiques, un anneau principal est un anneau intègre dont chaque idéal est principal, c’est-à-dire, est engendré par un unique élément.
Anneau principal

En mathématiques, un anneau principal est un anneau intègre dont chaque idéal est principal, c’est-à-dire, est engendré par un unique élément.

Exemples

Les anneaux suivants sont principaux :
- l'anneau \mathbb des entiers relatifs.
- l'anneau des polynômes en X sur un corps \mathbb K: \mathbb K. Ces deux exemples sont des anneaux euclidiens. C'est un résultat général que tout anneau euclidien est principal. La réciproque est fausse en général. En revanche, il est vrai que si un anneau de polynôme A à coefficients dans un anneau commutatif est un anneau principal, alors l'anneau A est un corps (et donc l'anneau de polynôme est euclidien). Les propriétés agréables des anneaux euclidiens font que sont cherchés, en arithmétique, des résultats sur le nombre de corps de nombres, dont l'anneau des entiers soit principal. Un invariant important, le groupe des classes, permet de tester cette propriété, et le problème est notamment résolu pour les corps quadratiques imaginaires, comme un cas particulier du problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginaires.

Premières propriétés

Les anneaux principaux vérifient l'identité de Bézout : :
- Si a et b sont deux éléments de A n'ayant pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités de l'anneau, alors il existe u et v éléments du groupe tel que a.u + b.v = 1. Cette propriété résulte du fait que l'idéal engendré par a et b est principal, et tout générateur de cet idéal est diviseur commun à a et b, donc est inversible et engendre l'anneau tout entier. En particulier, l'élément 1 appartient à cet idéal, ce qui entraîne la relation. Une fois établies les définitions de pgcd et ppcm, l'identité de Bézout prend une forme un peu différente : l'équation a.x + b.y = c admet des solutions si et seulement si c est un multiple du pgcd de a et de b. :
-'Si a est premier, alors A/a.A est un corps. Soit b un élément dont la classe dans la anneau quotient est non nulle, alors b n'est pas élément de a.A. Comme a est premier, il n'existe pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités. L'identité de Bézout, par passage aux classes montre alors que b est inversible. Le lemme d'Euclide aussi est vérifié : :
- 'soit a
, b et c trois éléments de A tel que a divise b.c et tel qu'il n'existe pas d'autres diviseurs commun à a et à b que les éléments du groupe des unités. Alors a est un diviseur de c. En effet, l'identité de Bézout assure l'existence de deux éléments de A, u et v tel que a.u + b.v = 1. La multiplication par c des deux membres de cette égalité permet d'écrire (i) a.u.c + b.c.v = c. De plus, a est un diviseur de b.c, ce qui se traduit par l'existence d'un élément d de A tel que: (ii) b.c = a.d. Les égalités (i) et (ii) démontre l'égalité suivante: a.( u.c + v.d) = c. Ceci montre que a divise c et le lemme d'Euclide est bien vérifié. catégorie:anneau en:Principal ideal domain de:Hauptidealring el:Περιοχή κυρίων ιδεωδών it:Dominio ad ideali principali ja:単項イデアル整域 nl:Hoofdideaaldomein pl:Pierścień główny pt:Domínio principal ru:Кольцо главных идеалов
Sujets connexes
Anneau euclidien   Anneau intègre   Anneau quotient   Arithmétique   Corps (mathématiques)   Corps de nombres   Corps quadratique   Entier algébrique   Identité de Bézout   Idéal   Idéal premier   Idéal principal   Lemme d'Euclide   Mathématiques   Plus grand commun diviseur   Plus petit commun multiple   Polynôme   Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginaires  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^