Espace vectoriel topologique

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Les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel. Des exemples connus d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.
Espace vectoriel topologique

Les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel. Des exemples connus d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.

Définition

Un espace vectoriel topologique ("e.v.t") E est un espace vectoriel sur un corps topologique K (généralement R ou C muni de leur topologie habituelle) muni d'une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel, c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :
- La somme de deux vecteurs est une application continue de E x E dans E,
- Le produit d'un scalaire par un vecteur est une application continue de K x E dans E. La catégorie des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K est notée TVSK ou TVectK où les objets sont les K-espaces vectoriels topologiques et les morphismes sont les applications K-linéaires continues.

Voisinages de l'origine

Ensemble absorbant

Une partie \quad U d'un espace vectoriel \quad E sur \mathbb K = \mathbb R ou \mathbb C est absorbante si: :\forall v \in E \quad \exists \alpha \in \mathbb R_+^
-\quad \forall \lambda \in K \quad |\lambda|\le \alpha \Rightarrow \lambda v \in U ;Théorème :;Tout voisinage de l'origine est un ensemble absorbant. :En effet si \mathcal V est un voisinage de 0 et si v est un vecteur quelconque, il résulte de la continuité de l'application (partielle) de \mathbb K dans \mathbb E : \lambda \mapsto \lambda v qu'il existe un voisinage de 0 dans \mathbb K qu'on peut restreindre à |\lambda|\le\alpha dont l'image est dans \mathcal V et donc |\lambda|\le\alpha \Rightarrow \lambda v \in \mathcal V.

Ensemble symétrique

Une partie \quad U d'un e.v.t \quad E sur \mathbb K = \mathbb R ou \mathbb C est symétrique si : :\forall v \in U \quad -v\in U.

Ensemble équilibré

Une partie \quad U d'un e.v.t \quad E sur \mathbb K = \mathbb R ou \mathbb C est équilibrée si : :\forall \lambda \in K \quad \forall v \in U\quad |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in U

Noyau équilibré d'une partie de E contenant l'origine

Le noyau équilibré N d'une partie A de E contenant 0 est la réunion des parties équilibrées de E incluses dans A. Ce noyau est non vide puisque est une partie équilibrée incluse dans A. C'est un ensemble équilibré car toute réunion d'ensembles équilibrés est équilibrée (puisque si x \in N x appartient à une partie équilibrée incluse dans N). N est donc le plus grand ensemble équilibré inclus dans A ;Théorème :;Soit N le noyau équilibré d'un ensemble A contenant l'origine. Pour que \quad v \in N, il faut et il suffit que pour tout scalaire \lambda\, vérifiant |\lambda|\le 1 on ait \quad \lambda v \in A. :En effet si v \in N alors pour tout scalaire \quad \lambda vérifiant |\lambda|\le 1 on a \lambda v \in N \in A. :Réciproquement si v vérifie la condition |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in A, supposons que v \not\in N. En posant N'=N \cup \\mu v / |\mu|\le 1\ on voit que N' est un ensemble équilibré inclus dans A et contenant strictement N, ce qui est contradictoire.

Types d'espaces vectoriels topologiques

Suivant l'application qu'on en fait, on utilise généralement des contraintes supplémentaires sur la structure topologique de l'espace. Ci-dessous se trouvent quelques types particuliers d'espaces topologiques, à peu près classés selon leur “gentilesse”.
- Espaces vectoriels topologiques localement convexes : dans ces espaces, tout point admet une base de voisinages convexes. Par la technique connue sous le nom de fonctionelle de Minkowski, on peut montrer que un espace est localement convexe si et seulement si sa topologie peut être définie par une famille de semi-normes. La convexité locale est le minimum requis pour des arguments géométriques comme le théorème de Hahn-Banach.
- Espaces tonnelés : espaces localement convexes où le théorème de Banach-Steinhaus s'applique.
- Espaces de Montel : espaces tonnelés où tout fermé borné est compact.
- Espaces bornologiques : espaces localement convexes où les opérateurs linéaires continus à valeurs dans un espace localement convexe sont exactement les opérateurs linéaires bornés.
- Espaces LF
- Espaces F
- Espaces de Fréchet
- Espaces nucléaires
- Espaces vectoriels normés et semi-normés : espaces localement convexes où la topologie peut être décrite par une unique norme ou semi-norme. Dans les espaces vectoriels normés, un opérateur linéaire est continu si et seulement si il est borné.
- Espaces de Banach : espaces vectoriels normés complets. La plus grande partie de l'analyse fonctionnelle est formulée pour des espaces de Banach.
- Espaces réflexifs : espaces de Banach isomorphes à leur double dual. Un exemple important d'espace non réflexif est L1, dont le dual est L∞ mais est strictement contenu dans le dual de L∞.
- Espaces de Hilbert : ils ont un produit scalaire ; bien que ces espaces puissent être de dimension infinie, la plupart des raisonnements géométriques familiers en dimension finie s'appliquent également.
- Espaces euclidiens : ceux-ci sont des espaces de Hilbert de dimension finie.

Références

- Alexander Grothendieck, Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973
- G Köthe, Topological vector spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969
- Helmuth H. Schaefer, Topological vector spaces., Springer-Verlag, New York, 1971
- F Trèves, Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, Academic Press, 1967

Voir aussi

- :Catégorie:Espace vectoriel topologique
- Espace localement convexe
- Espace vectoriel normé
- Espace de Baire
- Espace préhilbertien
- Espace de Hilbert Catégorie:Algèbre linéaire Catégorie:Structure algébrique topologique Catégorie:Analyse fonctionnelle de:Topologischer Vektorraum en:Topological vector space it:Spazio vettoriale topologico ja:線形位相空間 nl:Topologische vectorruimte pl:Przestrzeń liniowo-topologiczna pms:Spassi vetorial topològich pt:Espaço vectorial topológico ru:Топологическое линейное пространство sv:Topologiska vektorrum zh:拓撲向量空間
Sujets connexes
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