Semi-norme

Définition

Soit E un espace vectoriel sur un corps \mathbb K qui est un sous-corps de \mathbb C (en pratique ce sera souvent \mathbb R ou \mathbb C ). Une semi-norme sur E est une application p de E dans \mathbb R_+ vérifiant les axiomes suivants:
- \forall x \in E\quad\forall y \in E\quad p(x+y) \le p(x)+p(y)
- \forall x \in E\quad\forall\lambda\in\mathbb K\quad p(\lambda.x)= |\lambda|.p(x) Si on a la propriété supplémentaire suivante:
-\quad p(x)=0 \Rightarrow x=0 \qquad p est une norme sur E. Exemple: Soit E l'espace vectoriel des applications d'un ensemble U quelconque dans \mathbb R. a étant un élément quelconque de U, l'application \quad p_a définie pour tout f \in E par \quad p_a(f)=|f(a)| est une semi-norme sur E. Ce n'est pas une norme en général.

Propriétés

On montre aisément que l'ensemble des semi-normes sur E est stable par les opérations suivantes:
-La somme (si p_1 et p_2 sont des semi-normes, p_1+p_2 en est une également).
-Le produit par un réel positif (si p est une semi-norme et \alpha>0, alors \alpha.p est une semi-norme).
-Si \quad p_1, p_2, ..., p_n est une suite finie de semi-normes, alors l'application x \longmapsto p(x)=\sup_1 \le i \le np_i(x) est une semi-norme sur E.

Famille filtrante de semi-normes

Une famille (p_i)_i \in I de semi-normes sur l'espace vectoriel E est dite filtrante si pour toute sous-famille finie (p_i)_i \in J, J \subseteq I, J finie, il existe une semi-norme p de la famille majorant toutes les semi-normes de J. Exemple 1: La famille de semi-normes définie précédemment n'est pas filtrante. Cependant on peut toujours définir une famille filtrante en effectuant une "complétion" comme montré ci-après. Exemple 2 ("complétion" d'une famille quelconque): Soit une famille quelconque \mathcal P=(p_i)_i \in I de semi-normes sur E. On peut alors définir la famille \mathcal Q dont les éléments sont définis par \quad p_J=\sup_j \in J\quad p_j, J sous-famille finie de I. On voit facilement alors que \mathcal Q est une famille filtrante de semi-normes.

Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe

:Soit E un espace vectoriel réel ou complexe muni d'une famille filtrante (p_i / i \in I) de semi-normes. Nous définissons la topologie associée en prenant comme base de voisinages de chaque point x les ensembles appelés "p-boules" \quad \beta (x, i, R)= y \in E / p_i(y-x)0. Autrement dit les voisinages de x sont les ensembles contenant au moins une "p-boule". Vérifions que les 4 axiomes des voisinages sont bien vérifiés:
-Tout voisinage de x contient x (évident ici).
-Si \quad V est un voisinage de x et W \supset V alors \quad W est voisinage de x (idem).
-L'intersection de 2 voisinages de x est un voisinage de x (en effet si \quad p_1(y-x)