Algèbre linéaire

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L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).
Algèbre linéaire

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

Histoire

L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec René Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie, comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire. Il établit alors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'à présent séparées : l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès. Après cette découverte les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition et l'analyse des premières propriétés des déterminants par Jean d'Alembert. Ce n'est qu'au que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungslehre. Le début du voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omni-présente dans presque tous les domaines mathématiques.

Intérêt

Sous leur forme la plus simple les espaces vectoriels représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la droite, le plan ou notre espace physique. Les bases de cette théorie remplacent maintenant la représentation construite par Euclide au . La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des dimensions quelconques. L'algèbre linéaire permet de résoudre tout un ensemble d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en mécanique, mais dans de nombreuses autres branches comme les sciences naturelles ou les sciences sociales. Les espaces vectoriels forment aussi un outil fondamental pour les sciences de l'ingénieur et servent de base à de nombreux domaines dans la recherche opérationnelle. Cette branche fournit aussi un support théorique important en informatique, que ce soit matériel avec des calculateurs ou des processeurs vectoriels ou logiciel. Un langage informatique sorti dès 1969 adoptait des notations généralisées de l'algèbre linéaire : le langage APL. Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques pour résoudre des problèmes aussi divers que la théorie des groupes, des anneaux ou des corps, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle ou la théorie des nombres.

Présentation élémentaire

L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3. Un vecteur, ici, est un segment de droite caractérisé à la fois par sa longueur (ou norme), sa direction et son sens. Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés ou multipliés par des scalaires (nombres), formant ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel. L'algèbre linéaire moderne a été étendue pour considérer les espaces de dimension arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace, ils sont utiles pour représenter des données. Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composantes, on peut manipuler ces données efficacement dans cet environnement. Par exemple en économie, on peut créer et utiliser des vecteurs à huit dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays.

Quelques théorèmes

- Tout espace vectoriel de dimension finie possède au moins une base.
- Toutes les bases du même espace vectoriel de dimension finie ont même nombre de vecteurs
- Théorème de la « base incomplète » : soit E un espace vectoriel de dimension finie, G une famille génératrice de E et L une famille libre de vecteurs de G. Alors il existe au moins une base B de E telle que L soit incluse dans B et B incluse dans G.
- Tout espace vectoriel A possède un espace dual A
-; si A est de dimension finie, A
- est de même dimension.
- Formule de Grassmann : Soient E et F deux sous espaces vectoriels d'un même espace vectoriel de dimension finie. On a alors : Dim (E + G) = Dim (E) + Dim (G) - Dim (E ∩ G) D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de matrices de divers types :
- matrice diagonale
- bande
- matrice triangulaire
- à diagonale dominante (très utilisées en analyse numérique) Un théorème intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous-ensembles (« blocs ») d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices. Avec les mémoires actuelles de plusieurs gigaoctets, cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en théorie des nombres, pour la décomposition en produit de facteurs premiers avec le crible général de corps de nombres (GNFS) (méthode Lanczos par blocs).

Voir aussi

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Sujets connexes
APL (langage)   Algèbre multilinéaire   Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Application linéaire   Base (algèbre linéaire)   Carl Friedrich Gauss   Droite (mathématiques)   Décomposition en produit de facteurs premiers   Déterminant (mathématiques)   Espace (notion)   Espace dual   Espace vectoriel   Euclide   Géométrie   Géométrie différentielle   Hermann Günther Grassmann   Informatique   Jean le Rond d'Alembert   Marie Ennemond Camille Jordan   Mathématiques   Matrice (mathématiques)   Matrice diagonale   Matrice triangulaire   Mécanique   Plan (mathématiques)   Processeur vectoriel   Produit national brut   Quaternion   Recherche opérationnelle   René Descartes   Réduction d'endomorphisme   Sciences de l'ingénieur   Sciences naturelles   Sciences sociales   Sciences économiques   Système d'équations linéaires   Théorie des anneaux   Théorie des nombres   Vecteur   William Rowan Hamilton  
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