Rotation plane

Infos
En géométrie dans le plan, une rotation plane est une transformation qui fait tourner les figures autour d'un point et d'un certain angle. Cette transformation est une isométrie car les distances sont conservées. La figure n'a été ni déformée, ni agrandie. La rotation fait intervenir la notion d'angle orienté ce qui fait d'elle une des transformations les moins évidentes des transformations euclidiennes.
Rotation plane

En géométrie dans le plan, une rotation plane est une transformation qui fait tourner les figures autour d'un point et d'un certain angle. Cette transformation est une isométrie car les distances sont conservées. La figure n'a été ni déformée, ni agrandie. La rotation fait intervenir la notion d'angle orienté ce qui fait d'elle une des transformations les moins évidentes des transformations euclidiennes.

Définition, propriétés et caractérisations

Définition

Image d'une figure par rotation Définition : Dans le plan orienté, la rotation de centre C et d'angle θ est la transformation qui laisse C invariant et qui transforme tout point M distinct de C en un point M' tel que : CM = CM' et (\overrightarrow;\overrightarrow )= \theta Les rotations les plus classiques sont
- les quarts de tour directs - rotations d'angle droit dans le sens trigonométrique (i.e. inverse des aiguilles d'une montre);
- les quarts de tours indirects - rotations d'angle droit dans le sens des aiguilles d'une montre
- les rotations d'angle plat qui correspondent aux symétries centrales et aux homothéties de rapport -1
- Une rotation d'angle nulle correspond à l'identité. Construction de l'image d'un point par une rotation: prévoir figure
- Tracer le cercle de centre C et de rayon .
- Placer sur ce cercle le point M' , qui est l'image de M par cette rotation tel que (\overrightarrow;\overrightarrow) = \theta. Une rotation peut aussi être déterminée par un centre et l'image d'un point : Si C est un point et A et A' deux points distincts de C tels que CA = CA', il existe une unique rotation de centre C et qui transforme A en A'. L'angle (\overrightarrow;\overrightarrow) est alors l'angle de la rotation.

Propriétés

Propriété 1 : L'image d'un segment est un segment tel que AB = A'B' . Propriété 2 : L'image d'un cercle C de centre O et de rayon r est un cercle C' de centre O' , l'image de O, et de même rayon r. Propriété du vecteur image Propriété 3 dite "de conservation" : La rotation conserve :
- les longueurs;
- les angles (l'image d'un angle est un angle de même mesure);
- les parallèles (les images de deux droites parallèles sont parallèles);
- les aires (l'image d'une figure est une figure de même aire). La rotation conserve donc les distances , c’est-à-dire que M'N' = MN. C'est donc une isométrie. Elle conserve donc les alignements, les angles et les concours. Elle conserve aussi l'orientation : si ABC est un triangle direct alors A'B'C' est aussi un triangle direct. Fait important, on retrouve aussi l'angle de la rotation entre un vecteur et son image. boîte déroulante|titre=Démonstrations|contenu= Les triangle CMN et C'M'N' sont isométriques de même orientation car : CM = CM' : CN = CN' :( \overrightarrow;\overrightarrow) = (\overrightarrow;\overrightarrow) + ( \overrightarrow;\overrightarrow) + ( \overrightarrow;\overrightarrow)= \theta + ( \overrightarrow;\overrightarrow) - \theta = ( \overrightarrow;\overrightarrow) Donc, en particulier : MN = M'N' : ( \overrightarrow;\overrightarrow) = (\overrightarrow\overrightarrow) Une relation de Chasles sur les vecteurs permet alors d'écrire : : ( (\overrightarrow;\overrightarrow) = ( \overrightarrow;\overrightarrow) + ( \overrightarrow;\overrightarrow) + (\overrightarrow;\overrightarrow) les deux angles extrêmes s'annulent et celui du milieu vaut θ donc : ( \overrightarrow;\overrightarrow) = \theta

Autre caractérisation

Une rotation peut donc être caractérisée par l'image de deux points : Soient A et B deux points distincts et A' B' deux points tels que AB = A'B' avec \overrightarrow \ne \overrightarrow, il existe une unique rotation r qui transforme A en A' et B en B'. Cette rotation pour angle \theta = (\overrightarrow; \overrightarrow), et pour centre l'intersection des médiatrices de et (si elles se coupent) ou bien le point d'intersection de (AB) et de la médiatrice de (si les médiatrices ne sont pas sécantes). Il n'est pas nécessaire de connaitre le centre de la rotation pour construire l'image M' du point M (distinct de A) car celui-ci vérifie les deux conditions suivantes: : AM = A'M' : ( \overrightarrow;\overrightarrow) = \theta qui le définissent de manière univoque Rem: Si l'une des médiatrices n'existe pas, ce qui se produit quand A et A' ou B et B' sont confondus, le centre est alors immédiat : c'est, selon les cas, A ou B.

Invariance par rotation

Certaines figures sont invariantes par rotation. C'est le cas par exemple du carré de centre O, invariant par rotation de centre O et d'angle droit ou plat, ou du triangle équilatéral de centre O invariant par rotation d'angle 120°. On dit alors que ces figures possèdent une symétrie d'ordre 4 (pour le carré) ou d'ordre 3 (pour le triangle). L'ordre de la rotation correspond au nombre de fois qu'il est nécessaire d'application la rotation pour revenir à son point de départ. Un polygone régulier à n côtés possède une symétrie d'ordre n. Il existe des figures possédant une symétrie d'ordre n qui ne possèdent pas pour autant un axe ou un centre de symétrie. C'est le cas par exmple du Taijitu, symbole du Yin Yang et du Triskell qui possèdent respectivement une symétrie d'ordre deux et d'ordre trois.

Composition et décomposition

Composée de deux réflexions La composée de deux réflexions d'axes sécants en O est une rotation de centre O . Plus précisément, si :(d)= (O, \vec u) et (d') = (O, \vec v) , alors :s_ \circ s_ = r où r est une rotation de centre O et d'angle θ : \theta=2(\vec u, \vec v). Réciproquement, toute rotation de centre C se décompose en deux réflexions d'axes sécants en C dont l'un peut être choisi arbitrairement pourvu que l'autre permette, en multipliant par deux l'angle formé par les vecteurs directeurs, de retrouver l'angle de la rotation. La composée de deux rotations de même centre C et d'angles θ et θ' est une rotation de centre C et d'angle θ + θ'. Ces deux rotations commutent , c’est-à-dire que r o r' = r' o r. L'ensemble des rotations de centre C, muni de la loi de composition est donc un groupe commutatif isomorphe à (\mathbb R/2\pi\mathbb Z, +) La composée de deux rotations de centres différents et d'angles θ et θ' est
- une rotation d'angle θ + θ' si θ + θ' ≠ 2kπ
- une translation sinon La recherche du nouveau centre et la démonstration de cette propriété s'obtient en décomposant chaque rotation en deux réflexions ayant un axe en commun. Cette composée est rarement commutative. De plus, la composée d'une rotation et d'une translation reste une rotation de même angle dont le centre a changé. L'ensemble formé de toutes les rotations planes et de toutes les translations, muni de la loi de composition interne forme un groupe non commutatif appelé le groupe des isométries directes.

Expression complexe

La rotation de centre C et d'angle θ a pour expression complexe : z' = e^i\theta(z - z_c) + z_c\, c’est-à-dire que, si z_c est l'affixe de C, le point M d'affixe z a pour image le point M' d'affixe z' vérifiant l'égalité précédente. Réciproquement, toute transformation dont l'expression complexe est : z' = az + b, où a et b sont des complexes, vérifiant |a| = 1 et a ≠ 1 est une rotation dont le centre C a pour affixe \frac et dont l'angle est l'argument de a Cette écriture complexe permet de retrouver aisément toutes les propriétés précédentes.

Formules de changement d'axes de coordonnées

Il est courant en physique de devoir opérer une rotation des axes de coordonnées. Les formules qui suivent permettent d'exprimer les coordonnées d'un point M dans l'un des repères en fonction des coordonnées dans l'autre repère. Prenons un repère cartésien xOy dans lequel les coordonnées (x, y) d'un point M s'expriment en fonction des coordonnées polaires (r, φ) par les formules élémentaires : \beginx= r \cos\, \phi\\ y = r \sin\, \phi \, . \end Changement de repère par rotation d'angle θ Dans le nouveau repère x'Oy' déduit du précédent par une rotation d'angle θ (voir la figure) les nouvelles coordonnées polaires sont évidemment r’ et (φ - θ) et les coordonnées cartésiennes deviennent : \begin x'=r\cos\, (\phi- \theta)\\y'=r\sin\, (\phi-\theta) \, . \end En développant les fonctions trigonométriques et en tenant compte des expressions de x et y on arrive aux formules suivantes permettant de passer d'un repère à l'autre. :\beginx'=x\cos\, \theta+y\sin\, \theta\\y'=-x\sin\, \theta + y\cos\, \theta\end et, en sens inverse, :\beginx=x'\cos\, \theta-y'\sin\, \theta\\y=x'\sin\, \theta + y'\cos\, \theta\end Un truc : s'il peut s'avérer difficile de mémoriser le signe à mettre devant sinθ (« + » dans une ligne et « - » dans l'autre) l'astuce consiste à considérer un point particulier (tel que P sur la figure) avec y = 0 ou y ’ = 0 selon les besoins et de vérifier alors sur la figure le signe de la coordonnée voulue.

Voir aussi

- Symétrie
- Symétrie (transformation géométrique)
- Rotation vectorielle
- Rotation dans l'espace
-Rotation
Sujets connexes
Affixe   Angle   Argument   Carré   Coordonnées cartésiennes   Coordonnées polaires   Groupe (mathématiques)   Géométrie   Isométrie   Nombre complexe   Relation de Chasles   Rotation   Rotation dans l'espace   Rotation vectorielle   Réflexion (mathématiques)   Symétrie   Symétrie (transformation géométrique)   Taijitu   Triangle   Trigonométrie   Triskell  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^