Mouvement de Lagrange de la toupie

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Le mouvement de Lagrange de la toupie est le mouvement d'une toupie pesante autour d'un point O de son axe, la réaction d'axe n'ayant pas de moment par rapport à O (rotule parfaite). C'est à peu près le mouvement d'une toupie ordinaire, à ceci près que dans une toupie , le clou de la toupie est rond et glisse en frottant sur le plan où elle "repose" : il s'ensuit par application du théorème du couple gyroscopique qu'elle se redresse et vient en position de toupie dorma
Mouvement de Lagrange de la toupie

Le mouvement de Lagrange de la toupie est le mouvement d'une toupie pesante autour d'un point O de son axe, la réaction d'axe n'ayant pas de moment par rapport à O (rotule parfaite). C'est à peu près le mouvement d'une toupie ordinaire, à ceci près que dans une toupie , le clou de la toupie est rond et glisse en frottant sur le plan où elle "repose" : il s'ensuit par application du théorème du couple gyroscopique qu'elle se redresse et vient en position de toupie dormante. Le cas de Lagrange est mieux visualisé par le mouvement d'un gyroscope à deux axes de Cardan, surchargé : si la rotation est très rapide, la précession est directement proportionnelle au poids. On a donc une balance gyroscopique! Il convient d'étudier d'abord ce cas plus facile, avant d'aborder le cas général.

Balance gyroscopique : Précession = ~ mga/Cr(0)

- Description géométrique : on adopte les conventions suivantes pour les angles d'Euler: la rotation du premier cardan est définie par l'angle \psi(t) ; la rotation du deuxième cardan, intérieur au premier est la nutation \theta(t)= angle (\vec, \vec); la toupie est enfin mobile autour de son axe de révolution O, K, selon l'angle de rotation propre \phi(t) .
-Description cinématique : soit O, u l'axe des nœuds. le vecteur rotation est donc : \dot\psi \vec + \dot\theta \vec + \dot\phi \vec
-Description cinétique : les inerties à la rotation propres sont A, A, C ; l'énergie cinétique.2 est donc A \dot\theta^2 + A\dot\psi^2sin^2\theta + C( \dot\psicos\theta + \dot\phi)^2
-Description dynamique : le théorème du moment cinétique écrit selon u, K/\u, K donne les trois équations : \frac(A \dot \theta, A \dot\psi sin\theta, C(\dot\psicos\theta + \dot\phi) )^t + ( \dot\theta, \dot\psisin\theta, \dot\psicos\theta +\dot\phi)^t \wedge (A \dot\theta, A\dot\psisin \theta, C \dot\psicos\theta+ C \dot\phi)^t = (mga sin \theta, 0, 0)^t
-Intégration dans l'approximation gyroscopique (vitesse de rotation propre très grande): la troisième équation donne Lz = =cste = Cr(0) =~ C \dot\phi . La deuxième équation donne \theta = \theta_0 = cste : la nutation est constante. La première équation donne \dot\psi= mga / Cr(0). La précession « pèse » donc linéairement sur mga, indépendamment de la nutation. On peut aussi considérer que cela n'est qu'artificiel, car le moment est en sin\theta : alors , il est plus naturel de considérer le couple M et écrire \dot\psisin\theta_0= M / Cr(0):= Précession := Pr en rad/s
-Retrouver cela par le théorème du couple gyroscopique: Cr(0)dK/dt = M= mga k/\K ; soit Cr(0).Pr.K/\k +mga k/\K = 0

Précession des équinoxes d'Hipparque

Cette fois, le moment M est celui du soleil sur le renflement équatorial. Soit Q le quadrupôle terrestre = 2(A-C)
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