Cercle

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Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial. Dans son sens premier, le cercle est le « rond », la figure idéale à laquelle on réduit la forme de nombreux objets naturels ou artificiels : le soleil, un œil, la circonférence d'un arbre, une roue. Pendant longtemps, le langage courant employait ce terme autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en mathématiques, le cercle désign
Cercle

Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial. Dans son sens premier, le cercle est le « rond », la figure idéale à laquelle on réduit la forme de nombreux objets naturels ou artificiels : le soleil, un œil, la circonférence d'un arbre, une roue. Pendant longtemps, le langage courant employait ce terme autant pour nommer la courbe (circonférence) que la surface qu'elle délimite. De nos jours, en mathématiques, le cercle désigne exclusivement la courbe ; la surface étant appelée disque.

Géométrie

Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé Cercle unité : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus Un cercle est une courbe plane constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace. Un cercle est une section droite d'un cône. Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône). Dans un espace euclidien, il s'agit du rond qui est associé en français au terme de cercle. Dans un espace non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle unité ou cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine du repère, et dont le rayon vaut 1. Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par un croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.

Définitions

définition d'objets géométriques liés au cercle
-Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
-Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points.
-Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc et d'une corde définis par deux mêmes points.
-Un rayon est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle.
-Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2r.

Propriétés géométriques du cercle

Voici quelques propriétés géométriques du cercle.

Mesures

La longueur d'un arc sous-tendu par un angle \alpha, exprimé en radians, est égale à \alpha r. Ainsi, pour un angle de 2\pi (un tour complet), le périmètre (la circonférence) du cercle vaut 2\pi r. La longueur d'une corde sous-tendue par un angle \alpha est égale à 2r\sin(\alpha/2). L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut \pi r^2 ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.

Tangente

Tangente perpendiculaire au rayon La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Médiatrice

La médiatrice d'une corde passe par le centre. On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices. On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.

Cercle et triangle rectangle

Triangle rectangle inscrit dans un cercle Prenons trois points du cercle A, B et C, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B. Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays anglo-saxons le théorème de Thalès.

Angle inscrit, angle au centre

Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc. Prenons deux points distincts A et B du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a \widehat = 2 \cdot \widehat Pour l'angle au centre \widehat, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C. Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Rapport des cercles inscrits

Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits.
- Rayon R' des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon R et surface de SR' = \frac
- Rayon R' et surface S' des 3 plus grands cercles inscritsR' = \frac1+\sqrt\frac\qquad 3S' = \frac \left(\frac2+\sqrt\right)^2
- Rayon R' et surface S' des 4 plus grands cercles inscritsR' = \frac1+\sqrt\qquad 4S'=\frac\frac3+\sqrt
- Rayon R' des 5 plus grands cercles inscritsR' = \frac1+\sqrt2+\sqrt\frac
- Rayon R' des 7 plus grand cercles inscrits (1 cercle au centre entouré de 6)R' = \frac

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Puissance d'un point par rapport à un cercle Si M est un point et \Gamma est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA\times MB = |OM^2 - R^2|. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que
- si M est à l’extérieur du cercle, MA\times MB = OM^2 - R^2 ;
- si M est à l’intérieur du cercle, OM^2 - R^2 = -MA\times MB ;ce produit correspond au produit des mesures algébriques et . On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle \Gamma le produit des mesures algébriques et . Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM^2 - R^2. Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle OMT, la puissance de M est MT^2. L'égalité MA\times MB = MT^2 est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle. La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si
- A, B, C, D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et
- (en mesures algébriques), alors les quatre points sont cocycliques.

Équations

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C(a, b) et de rayon r est : (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle unité est donc x^2 + y^2 = 1. En mettant y en évidence, on obtient les équations cartésiennes du cercle : y = b \pm \sqrt. Les équations paramétriques du cercle sont \beginx=a+r \cos\theta \\ y=b+r \sin\theta\end soit pour le cercle unité \beginx=\cos\theta \\ y=\sin\theta\end On peut également déterminer une équation pour le cercle de diamètre : (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0, soit encore x^2 + y^2 - (x_A + x_B)x - (y_A + y_B)y + x_A x_B + y_A y_B = 0. On peut enfin exprimer le rayon, la corde et la flèche selon deux d'entre eux : C = 2\sqrt R = \frac F = R - \sqrtR^2 - \tfrac4

Voir aussi

- Cercle polaire
- Sphère
- Algorithme de tracé d'arc de cercle de Bresenham
- Cercle chromatique
- Problème de Napoléon
- Cercle vicieux Catégorie:Courbe Catégorie:Cercle et sphère ar:دائرة bg:Окръжност bs:Krug ca:Cercle cs:Kružnice cy:Cylch da:Cirkel de:Kreis (Geometrie) el:Κύκλος en:Circle eo:Cirklo es:Círculo et:Ringjoon fi:Ympyrä gl:Círculo he:מעגל hr:Kružnica ht:Sèk hu:Kör id:Lingkaran is:Hringur it:Cerchio ja:円 (数学) ko:원 (기하) lb:Krees (Geometrie) lt:Apskritimas nl:Cirkel nn:Sirkel no:Sirkel pl:Okrąg pt:Círculo qu:P'allta muyu ru:Окружность sco:Raing simple:Circle sk:Kružnica sl:Krog sr:Круг sv:Cirkel ta:வட்டம் th:รูปวงกลม uk:Коло zh:圆 zh-min-nan:Îⁿ-hêng
Sujets connexes
Algorithme de tracé d'arc de cercle de Bresenham   Carthage   Cercle chromatique   Cercle circonscrit   Cercle polaire   Cercle trigonométrique   Cercle vicieux   Circonférence   Colinéarité   Conique   Courbe plane   Cylindre   Cône (géométrie)   Diamètre   Didon   Disque (géométrie)   Ellipse (mathématiques)   Focalisation (optique)   Longueur d'onde   Longueur d'un arc   Mathématiques   Mesure algébrique   Miroir   Optique géométrique   Paramétrage   Problème de Napoléon   Radian   Rayon (géométrie)   Réflexion optique   Sphère   Théorème de Pythagore   Théorème de Thalès (cercle)   Triangle   Vache  
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