Fonction arctangente

Infos
Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle . Notée naguère , elle se note désormais . Concrètement, si x appartient à et y appartient à \R : :y = \tan x \Leftrightarrow x = \arctan y La courbe représentative de la fonction arctangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle par une réflexion d'axe la droite d'é
Fonction arctangente

Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle . Notée naguère , elle se note désormais . Concrètement, si x appartient à et y appartient à \R : :y = \tan x \Leftrightarrow x = \arctan y La courbe représentative de la fonction arctangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arctangente est : : \arctan x=\sum_^\infty (-1)^j\frac= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots Cette série entière converge quand |x|\le 1 et x\neq\pm i. La fonction arctangente est cependant définie sur tout \R. Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x=1, appelée formule de Leibniz : \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots La formule de Machin, plus sophistiquée, : \frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1 fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de \pi et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

Équation fonctionnelle

De on peut déduire \arctan(x) et inversement : :\forall x\in\R_+^
-, \ \arctan \frac + \arctan x= \frac\pi :\forall x\in\R_-^
-, \ \arctan \frac + \arctan x= -\frac\pi Ces équations fonctionnelles peuvent se prouver par exemple en montrant que la dérivée est nulle. On a : :\arctan'(x) = \frac et :\left(\arctan\frac\right )' = \frac \cdot \frac1+\frac = \frac donc :\left(\arctan \frac + \arctan(x)\right)' = 0 On en déduit que est constante par morceau sur chaque intervalle de son ensemble de définition, et on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant la valeur prise en x=1 et x=-1.

Fonction réciproque

Par définition, la réciproque de la fonction arctangente est la fonction tangente : :\forall x \in \R, \forall y \in \left]-\frac\pi 2;\frac\pi 2\right[, \ y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y

Dérivée

:\arctan'(x) = \frac

Intégration

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme : \frac1. Si le discriminant D=b^2-4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par : u=\frac\sqrt qui donne pour l'expression à intégrer : \frac\cdot\frac1. L'intégrale est alors : \frac2\sqrt\arctan\frac\sqrt. La primitive de la fonction arctangente proprement dite est : \int \arctan(x)\;\mathrm dx = x \cdot \arctan x - \frac \ln\left(1 + x^2\right).

Formule remarquable

Nous avons la formule suivante : : \arctan\left(\frac\right) + \arctan\left(\frac\right) = \frac\pi.

Remarque

On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe : :\arctan x=\frac12\mathrm i\ln\left(\frac1+\mathrm ix1-\mathrm ix\right) Catégorie:Trigonométrie catégorie:analyse réelle bg:Аркустангенс cs:Arkus tangens de:Arkustangens und Arkuskotangens it:Arcotangente nl:Arctangens sr:Аркус тангенс
Sujets connexes
Application (mathématiques)   Application réciproque   Convergence absolue   Discriminant   Dérivée   Développement en série   Formule de Leibniz   Formule de Machin   Fraction partielle   Intégration   John Machin   Logarithme   Nombre complexe   Pi   Primitive   Série de Taylor   Série entière  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^