Intégration par parties

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En mathématiques, 'intégration par parties' est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul. La formule-type est la suivante, où f et g sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition : :\int_^ f(x) g'(x)\, \mathrm dx = \bigl_^ - \int_^ f'(x) g(x) \, \mathrm dx ou encore :\int u\, \mathrm dv= uv-\int v\, \mathrm du où u rep
Intégration par parties

En mathématiques, 'intégration par parties' est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul. La formule-type est la suivante, où f et g sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition : :\int_^ f(x) g'(x)\, \mathrm dx = \bigl_^ - \int_^ f'(x) g(x) \, \mathrm dx ou encore :\int u\, \mathrm dv= uv-\int v\, \mathrm du où u représente une partie de l'intégrande et \mathrm dv représente l'autre partie ainsi que la variable d'intégration.

Démonstration

La démonstration de cette formule est très simple : en effet, elle découle directement de la propriété de dérivation d'un produit de fonctions u et v : (uv)' = u'v + uv'. On a donc uv' = (uv)' - u'v puis : :\int u(x) v'(x)\, \mathrm dx = \int (uv)'(x)\, \mathrm dx - \int u'(x) v(x)\, \mathrm dx Ce qui donne bien la propriété énoncée ci-dessus. Cette démonstration peut également être faite à l'aide de la notation de Leibniz. Soit deux fonctions dérivables u et v. La règle de la dérivation d'un produit nous donne : :\frac \mathrm d(uv)\mathrm dx= u\frac \mathrm dv\mathrm dx+v\frac \mathrm du\mathrm dx En multipliant par \mathrm dx on obtient : :\mathrm d(uv)= u\frac \mathrm dv\mathrm dx\mathrm dx+v\frac \mathrm du\mathrm dx\mathrm dx :\mathrm d(uv)= u\mathrm dv+v\mathrm du On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante : :u\mathrm dv= \mathrm d(uv)-v\mathrm du Il suffit maintenant d'intégrer l'équation : :\int u\, \mathrm dv= \int \mathrm d(uv)-\int v\, \mathrm du On obtient alors : :\int u\, \mathrm dv= uv-\int v\, \mathrm du Grâce à la formule de Leibniz, on peut généraliser cette méthode aux fonctions de classe C^ : :\int_^ f(x) g^(x)\, \mathrm dx = \left_^ + (-1)^ \int_^ f^(x) g(x) \, \mathrm dx Il est à noter que la règle employée pour dériver est l'ordre LPET. L'on commence par les fonctions logarithmiques puis polynomiales, exponentielles et enfin trigonométriques.

Exemples

Effectuons le calcul de : :\int_^\frac\pi x\cos (x) \, \mathrm dx grâce à une intégration par parties. Pour cela, nous posons : :f(x) = x, de telle sorte que f'(x)= 1, :g'(x)= \cos(x), de telle sorte que g(x) = \sin(x), par exemple. Il vient : :\int_^\frac\pi x\cos (x) \, \mathrm dx = \left_^\frac\pi - \int_^\frac\pi f'(x) g(x) \, \mathrm dx ::= \left_^\frac\pi - \int_^\frac\pi \sin (x) \, \mathrm dx ::= \frac\pi \sqrt + \left_^\frac\pi ::= \frac\pi \sqrt - \frac Effectuons le calcul de l'intégrale indéfinie suivante : :\int xe^x \mathrm dx Pour l'intégration par parties posons : :u=x et \mathrm dv=e^x \mathrm dx Nous avons donc : :\mathrm du=\mathrm dx et v=e^x Utilisons la formule de l'intégration par parties : :\int u\, \mathrm dv= uv-\int v\, \mathrm du :\int xe^x \, \mathrm dx= xe^x-\int e^x\, \mathrm dx L'intégrale est maintenant beaucoup plus simple à calculer. On trouve : :\int xe^x\, \mathrm dx= xe^x-e^x+C Catégorie:Méthode d'intégration ar:تكامل بالأجزاء bs:Parcijalna integracija cs:Per partes de:Partielle Integration en:Integration by parts he:אינטגרציה בחלקים it:Integrazione per parti ko:부분 적분 mk:Интегрирање по делови nl:Partiële integratie pl:Całkowanie przez części ru:Интегрирование по частям sk:Metóda integrovania per partes sv:Partialintegration zh:分部積分法
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