Fonction de compte des nombres premiers

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En mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée \pi(x)\, (à ne pas confondre avec la constante π). Les 60 premières valeurs de π(n)
Fonction de compte des nombres premiers

En mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée \pi(x)\, (à ne pas confondre avec la constante π). Les 60 premières valeurs de π(n)

Historique

Depuis Euclide, il est connu qu'il existe des nombres premiers en quantité infinie. Pour affiner la connaissance de ces nombres, la théorie des nombres s'est attelée à en déterminer le taux de croissance. A la fin du siècle, GaussC'est en 1849, soit plus de 40 ans après la publication de Legendre, que Gauss indique, dans une correspondance avec Encke qu'il a conjecturé en 1793 que \pi (x) est approximativement égal à x/ln(x). et LegendreA.M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Seconde édition. Paris, Courcier (1808) p.394 ont conjecturé que cette quantité était proche de x/\operatorname(x). De manière équivalente, on peut l'écrire | border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | bgcolor="
-fff8ff" |\lim_x\rightarrow +\infty\frac\pi(x)x/\operatorname(x)=1 | Cette affirmation constitue le théorème des nombres premiers, prouvé indépendamment par Hadamard et de La Vallée Poussin, en 1896, grâce à la fonction Zeta de Riemann. Une assertion équivalente est: :\lim_x\rightarrow +\infty\pi(x) / \operatorname(x)=1 , où \operatorname\, est la fonction Logarithme intégral. Des estimateurs plus précis de \pi(x)\, sont aujourd'hui connus. Par exemple: :\pi(x) = \operatorname(x) + O \left( x \exp \left( -\frac\sqrt\ln(x) \right) \right), Des preuves du théorème des nombres premiers n'utilisant pas l'analyse complexe furent proposée en 1948 par Atle Selberg et Paul Erdős.

Algorithmes d'évaluation de π(x)

Une façons simple de calculer \pi(x)\, , si x\, est un nombre petit, est d'utiliser le crible d'Ératosthène de manière à trouver tous les premiers inférieurs à x\, et ensuite de les compter. Une manière plus élaborée pour trouver \pi(x)\, a été inventée par Legendre: étant donné x\, , si p_1\, ,  p_2\, ,  …,  p_k\, sont des nombres premiers distincts, alors le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à x qui ne sont divisibles par aucun p_i\, est :\lfloor x\rfloor - \sum_\left\lfloor\frac\right\rfloor + \sum_i \frac \log x si x ≥ 17. : \pi(x) < 1.25506\ \frac \log x si x > 1. : \frac \log x + 2 < \pi(x) < \frac \log x - 4 si x ≥ 55. Ces inégalites sont vérifiées par le nèmenombre premier, notépn. : n\ \ln n + n\ln\ln n - n < p_n < n \ln n + n \ln \ln n si n ≥ 6. L'inégalité de gauche est vraie si n ≥ 1 et celle de droite si n ≥ 6. Une approximation pour le ne nombre premier est : p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac n \ln \ln n - 2n \ln n + O\left( \frac n (\ln \ln n)^2 (\ln n)^2\right).

L'hypothèse de Riemann

L'Hypothèse de Riemann propose une estimation plus serrée de \pi(x)\, , équivalente à distribution plus régulière des nombres premiers: :\pi(x) = \operatorname(x) + O(\sqrt \log).

Relation avec les sommes de nombres premiers

Si nous avons une somme de fonction sur tous les nombres premiers : \sum_f(x)\, et que nous souhaitons accélérer sa convergence, nous pouvons l'écrire sous la forme : : \sum_^\infty(-1)^(\pi(n)-\pi(n-1)+1)f(n)=2f(2)-\sum_f(x)+\sum_^\infty(-1)^f(n) pour la série de gauche, nous avons pu appliquer la transformée d'Euler pour les séries alternées, en apportant que f(n)>f(n+1) et que les 2 séries convergent, elle relie aussi une série alternée avec sa somme de nombres premiers, d'autre part. La principale utilisation de ceci est que nous pouvons donner une bonne approximation en utilisant seulement quelques valeurs de la Fonction compte des nombres premiers.

Table de π(x), x / ln x, et Li(x)

Voici une table qui montre le comportement comparé des trois fonctions π(x), x / ln x et Li(x) : : La première colonne est la suite de l'Encyclopédie électronique des suites entières; la deuxième colonne est la suite ; et la troisième colonne, la suite .

Formules pour les fonctions de compte des nombres premiers

Celles-ci sont de deux sortes, les formules arithmétiques et les formules analytiques. Ces dernières sont celles qui nous permettent de prouver le théorème des nombres premiers. Elles proviennent des travaux de Riemann et de von Mangoldt, et sont généralement connues comme formules explicites de fonctions L. Nous avons l'expression suivante pour \psi\, : :\psi(x) = x - \sum_\rho \fracx^\rho\rho - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^). Ici, \rho\, sont les zéros de la fonction zeta de Riemann dans la bande critique, où la partie réelle de \rho\, est comprise entre zéro et un. La formule est valide pour les valeurs de x plus grandes que un, qui est la région qui nous intéresse, et la somme des racines est convergente sous conditions, et devrait être prise en ordre croissant des valeurs absolues des parties imaginaires. Pour J, nous avons une formule plus compliquée : :J(x) = \operatorname(x) - \sum_\rho\operatorname(x^\rho) - \ln 2 + \int_x^\infty \fract(t^2-1) \ln t. De nouveau, la formule est valide pour x > 1, et \rho\, représente les zéros non triviaux de la fonction zeta ordonnés en accord avec leurs valeurs absolues. Le premier terme li(x) est le logarithme intégral habituel; néanmoins, il est moins facile de décrire ce que représente li dans les autres termes. La meilleure manière de concevoir cela est de considérer l'expression \operatorname(x^\rho)\, comme une abréviation de \operatorname(\rho\ln x)\, , où Ei est le prolongement analytique de la fonction intégrale exponentielle à partir des réels positifs vers le plan complexe muni d'une coupure le long des réels négatifs.

Sources

- Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, 2000, Editions Belin. ISBN 2-84245-017-5
- Eric Bach and Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, page 234, section 8.8.
- Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers I: Divisibility and Primality, 2005, Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2

Notes

Nombres premiers Nombres premiers ca:Funció de recompte de nombres primers cy:Ffwythiant cyfri rhifau cysefin en:Prime-counting function it:Funzione enumerativa dei primi pl:Funkcja π pt:Função de contagem de números primos simple:Prime counting function sl:Število praštevil
Sujets connexes
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