Variété algébrique

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En géométrie algébrique, une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un ensemble de polynômes. La variété algébrique est à la géométrie algébrique ce que la variété différentielle est à la géométrie différentielle. On distinguera ici quatre types de variétés algébriques: les variétés algébriques affines, quasi-affines, projectives et quasi-projectives
Variété algébrique

En géométrie algébrique, une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un ensemble de polynômes. La variété algébrique est à la géométrie algébrique ce que la variété différentielle est à la géométrie différentielle. On distinguera ici quatre types de variétés algébriques: les variétés algébriques affines, quasi-affines, projectives et quasi-projectives. Il existe aussi une notion plus générale de variété algébrique dite abstraite dont cet article ne traite pas.

Les variétés algébriques affines

Cadre. Dans tout cet article k désignera un corps algébriquement clos (par exemple \mathbb), n un entier supérieur ou égal à un et \mathbb_k^n l'espace affine de dimension n sur k, c’est-à-dire l'ensemble kn. Définition. Soit S une partie de l'anneau des polynômes k on appelle variété associée à S et on note V(S) le sous-ensemble de \mathbb_k^n: V(S)=\(x_1, \ldots, x_n)\in \mathbb_k^n, \forall f\in S, \ f(x_1, \ldots, x_n)=0\ C’est-à-dire le lieu d'annulation commun à tous les éléments de S. Remarque. Si I est l'idéal de k engendré par S, alors V(I)=V(S). Le théorème des zéros de Hilbert établit une correspondance bijective entre les variétés algébriques de \mathbb_k^n et les idéaux radiciels de k. Les points correspondent aux idéaux maximaux, et les variétés correspondant aux idéaux premiers sont appelées variétés irréductibles (attention: dans la littérature certains auteurs préfèrent réserver le terme de variété aux variétés irréductibles et parlent densembles algébriques pour désigner les variétés non irréductibles.) Exemples.
- Dans le plan affine \mathbb_k^2, le lieu d'annulation d'un polynôme à deux variables est une variété algébrique affine appelée courbe algébrique et le degré du polynôme est appelé degré de la courbe. Les droites sont les courbes algébriques affines de degré 1, les coniques celles de degré 2, les cubiques celles de degré 3 et ainsi de suite.
- Dans l'espace affine \mathbb_k^3 le lieu d'annulation d'un polynôme à trois variables est une variété algébrique affine appelée surface algébrique. Tout comme pour les courbes on définit le degré d'une surface, les plans sont les surfaces algébriques affines de degré 1, les quadriques celles de degré 2 etc.
- Dans un espace affine, une union finie de points est une variété algébrique affine.

Les variétés algébriques projectives.

La géométrie algébrique projective est un cadre plus confortable lorsque l'on veut étudier les intersections entre deux variétés. Le théorème de Bezout n'est vrai que pour des variétés projectives.
Cadre. Dans cette partie \mathbb_k^n désigne l'espace projectif de dimension n sur k, c'est-à-dire l'ensemble k
n+1−/~, où ~ est la relation d'équivalence identifiant deux points x et y si et seulement si x et y sont sur la même droite passant par l'origine. L'espace projectif de dimension n s'identifie donc à l'ensemble des droites vectorielles d'un k-espace vectoriel de dimension n+1. Définition. Soit S un ensemble de polynômes homogènes de l'anneau k. On appelle variété associée à S et on note V(S) le sous-ensemble de \mathbb_k^n: V(S)=\(x_0:\ldots:x_n)\in \mathbb_k^n, \forall f \in S, \ f(x_0, \ldots, x_n)=0\ (x_0 : \ldots : x_n) sont les coordonnées homogènes d'un point de \mathbb_k^n. Remarquons que l'annulation du polynôme f en un point de kn+1− ne dépend que de sa classe modulo la relation ~. L'ensemble V(S) est donc bien défini. Remarque. Si I est l'idéal homogène de k engendré par S alors V(I)=V(S). Ensuite, tout comme dans le cas des variétés algébriques affines il existe un théorème des zéros de Hilbert projectif qui établit une correspondance bijective entre les variétés algébriques projectives dans \mathbb_k^n et les idéaux homogènes radicaux distincts de l'idéal engendré par (X_0, \ldots, X_n).

Topologie de Zariski

Les variétés algébriques affines (resp. projectives) sont habituellement munies d'une topologie dite de Zariski. Si X désigne une telle variété, une partie de X est déclarée fermée pour cette topologie si et seulement si elle est de la forme V(
S) pour un ensemble de polynômes (resp. polynômes homogènes) S. Un sous-ensemble ouvert d'une variété affine (resp. projective) est appelé variété quasi-affine (resp. quasi-projective). Pour tout i=0, ..., n, l'espace affine \mathbb_k^n peut être identifié au sous-ensemble ouvert U_ de \mathbb_k^n défini par xi ≠ 0 via l'application qui à (x1, ...x'n) associe le point de l'espace projectif qui a pour coordonnées homogènes (x'1, ..., x'i, 1, x'i+1..., x'n''). On vérifie que cette application induit un homéomorphisme de l'espace affine sur son image. U.

Morphismes de variétés

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