Anneau à valuation discrète

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En quelques mots, un anneau à valuation discrète est un anneau intègre dans lequel tous les éléments se factorisent en éléments irréductibles, muni d'un seul élément premier t . La théorie de la factorisation dans un tel anneau est alors simple, la question que l'on se pose est de savoir quelle puissance de t divise un élément de A. Cela donne alors une valuation v : A \backslash \ 0 \ \rightarrow \mathbb. Les anneaux à valuation discrète sont des outils très employés en théori
Anneau à valuation discrète

En quelques mots, un anneau à valuation discrète est un anneau intègre dans lequel tous les éléments se factorisent en éléments irréductibles, muni d'un seul élément premier t . La théorie de la factorisation dans un tel anneau est alors simple, la question que l'on se pose est de savoir quelle puissance de t divise un élément de A. Cela donne alors une valuation v : A \backslash \ 0 \ \rightarrow \mathbb. Les anneaux à valuation discrète sont des outils très employés en théorie des nombres ainsi qu'en géométrie.

Définition

Soit (F, v) un corps valué, l'anneau de valuation de v est le sous-ensemble : A := \x \in F | v(x) \geq 0 \ Il est évident que A est bien un anneau et tout anneau de cette forme est appelé anneau à valuation discrète. On a v(x^) = - v(x) dans F^
-, et donc x est une unité de A si et seulement si v(x) = 0. Ainsi un anneau à valuation discrète est un anneau local d'idéal maximal : m = \x \in F | v(x) > 0 \ . Soit t un élément de F tel que v(t) = 1 ; alors on a m = (t) et tout idéal non nul de A est de la forme (t^n). En particulier A est noethérien. Un générateur t de m est appelé un paramètre local (ou un élément premier, ou une uniformisante) de l'anneau A.

Critères

On cherche des critères qui font qu'un anneau donné est en effet local. Par exemple un anneau local noethérien dont l'idéal maximal est principal m = (t) pour un t . On définit v(x) = n où n est l'unique entier vérifiant x = t^n u pour une unité u de a (on vérifiera que c'est bien défini). On a alors une valuation sur le corps des fractions de A donné par v(x/y) = v(x) - v(y) . Lorsque A est un anneau commutatif unitaire, les assertions suivantes sont équivalentes :
- A est un anneau de valuation discrète ;
- A est un anneau de valuation principal ;
- A est un anneau de valuation noethérien ;
- A est un anneau local, noethérien, d'idéal maximal principal non nilpotent ;
- A est un anneau local, noethérien, intégralement clos et de dimension de Krull 1 ;
- A est un anneau local, noethérien, intègre et d'idéal maximal inversible. Catégorie:anneau
Sujets connexes
Anneau intègre   Anneau local   Anneau noethérien   Corps des fractions   Corps valué   Géométrie   Théorie des nombres  
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