Espace précompact

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Soit E un espace métrique, E est dit précompact si \forall \epsilon > 0 on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons \epsilon \, .
- Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact, alors E est précompact.
-: Démonstration :
-: Soit \epsilon > 0\, , alors, E \subset \bigcup_x\in E B(x, \epsilon)
-: Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un so
Espace précompact

Soit E un espace métrique, E est dit précompact si \forall \epsilon > 0 on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons \epsilon \, .
- Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact, alors E est précompact.
-: Démonstration :
-: Soit \epsilon > 0\, , alors, E \subset \bigcup_x\in E B(x, \epsilon)
-: Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un sous recouvrement fini, d'où le résultat.
- Proposition 2 : Soit E un espace métrique complet et précompact, alors E est compact.
-: Démonstration :
-: On va montrer que E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass qui est équivalente à Borel Lebesgue dans les espaces métriques.
-: Soit x une suite de E. Recouvrons E par un nombre fini n(0) de boules ouvertes de rayon 2^0 =1 : E \subset \bigcup_^ B(a_, 1) .
-:Une de ces boules contient une infinité I(0) de termes de la suite, appelons-la B_.
-:Mais on peut aussi recouvrir E par un nombre n(1) de boules ouvertes de rayon 2^.
-:Dans ce cas, il existe une boule B_, de rayon 2^, contenant une partie infinie I(1) de I(0)
-:(si ce n'était le cas, toute boule B(a_, 2^) ne contiendrait qu'un nombre fini d'éléments de I(0), et donc E également, ce qui est absurde)
-:on peut itérer le procédé pour obtenir I(2), \dots , I(k) \dots une suite décroissante de parties infinies et de diamètres tendant vers 0 (car majorés par 2^ )
-:Ainsi, obtient une sous-suite de x, et qui est de Cauchy.
-:Par complétude, celle-ci converge dans X
-:\square Catégorie:Compacité
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