Algèbre de Banach

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En mathématiques, 'algèbre de Banach' est une des structures fondamentales de l'analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).
Algèbre de Banach

En mathématiques, 'algèbre de Banach' est une des structures fondamentales de l'analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).

Définition

Une algèbre de Banach (\mathbb A, +, \cdot, \times, \|\;\|)sur le corps \mathbb K =\mathbb R ou \mathbb C est une K-algèbre normée telle que l'espace vectoriel normé sous-jacent soit en outre un espace de Banach (un espace vectoriel normé complet). Suivant les auteurs, la structure d'algèbre exige ou non la présence d'un élément unitéDans le tome II ses éléments d'analyse, Jean Dieudonné impose l'existence d'un élément neutre dans la définition d'une algèbre de Banach. Au contraire, Nicolas Bourbaki ne le suppose pas.. Les termes algèbre unitaire et algèbre non unitaire permettent de différencier les structures. En analyse fonctionnelle, une algèbre de Banach est dite unitaire lorsqu'il existe un élément neutre, nécessairement unique, e, et que la norme de e est 1. On parle en outre d'algèbre de Banach commutative quand la loi produit est commutative.

Exemples

- L'ensemble des nombres réels muni de la valeur absolue, de la somme et du produit est une algèbre de Banach réelle et unitaire. De même, l'ensemble des nombres complexes, muni du module, de la somme et du produit est une algèbre de Banach complexe et unitaire. Ces exemples sont fondamentaux.
- Si H est un espace vectoriel réel ou complexe normé complet, l'algèbre des opérateurs bornés (c'est-à-dire des endomorphismes réels ou complexes continus) de H est une algèbre de Banach réelle ou complexe (unitaire) pour la norme d'opérateurs correspondante, la somme et la composition d'opérateurs. Delà en découle la théorie de la représentation des algèbres de Banach.
- L'exemple (précédent) concerne notamment les algèbres d'endomorphismes en dimension finie : en particulier, \mathbf M_n( \mathbb R) et \mathbf M_b(\mathbb C) sont des algèbres de Banach, pour une norme matricielle classique.
- L'espace L1 des fonctions intégrables sur \mathbb R (modulo l'égalité presque partout) est une algèbre de Banach non unitaire relativement au produit de convolution. Dans la théorie de Riemann de l'intégration, cette algèbre est construite à unique isomorphisme près par complétion d'un espace raisonnable, par exemple l'espace des fonctions continues à support compact, muni de la norme \mathbf L1.
- Plus généralement, dans la théorie de Lebesgue, l'espace des fonctions intégrables sur un espace mesuré est un espace de Banach. La complétude demande une démonstration qui s'appuie sur un rapprochement entre convergence L1 et convergence presque partout.

Propriétés des algèbres unitaires

Soit \mathbb A une algèbre de Banach unitaire, d'élément unité e.

Propriétés de l'application de passage à l'inverse

Comme dans toute algèbre, les éléments inversibles de A forment un groupe. Tout élément x appartenant à la boule ouverte de centre e et de rayon 1 en fait partie, et son inverse peut être exprimé comme somme de la série géométrique de raison x. :\|x\|
Sujets connexes
Algèbre   Algèbre normée   Algèbre stellaire   Analyse fonctionnelle (mathématiques)   Espace complet   Espace de Banach   Espace vectoriel normé   Groupe (mathématiques)   Groupe topologique   Homéomorphisme   Intérieur   Isométrie   Nicolas Bourbaki   Norme d'opérateur   Ouvert   Produit de convolution   Stefan Banach   Série géométrique   Théorème de Baire   Théorème de Gelfand-Mazur  
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