Produit scalaire

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En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et parfois aux espaces vectoriels c
Produit scalaire

En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et parfois aux espaces vectoriels complexes. C'est ainsi, par exemple, qu'une fois qu'on aura muni un espace de polynômes d'un produit scalaire, on pourra parler de distance ou d'angle entre deux polynômes. Toutefois, un même espace vectoriel peut être muni d'une multitude de produits scalaires distincts qui aboutiront à des résultats non équivalents d'angles, distances, orthogonalité. Le choix du produit scalaire adapté à un problème, notamment d'analyse fonctionnelle peut être la clef de sa résolution.

Fragments d'histoire

Élement important de calcul en géométrie euclidienne, le produit scalaire apparaît cependant assez tard dans l'histoire des mathématiques. On en trouve trace chez Hamilton en 1843 lorsqu'il crée le corps des quaternions. Peano le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donne le nom de produit intérieur ou produit scalaire. C'est sous cette forme qu'il apparaît par la suite. Sa qualité de forme bilinéaire symétrique sera ensuite exploitée en algèbre linéaire et, de propriété, deviendra définition. La notation du produit scalaire à l'aide d'un point ou d'une croix provient de Josiah Willard Gibbs, dans les années 1880. Le produit scalaire se révèle très utile, aussi bien en physique pour le calcul du travail d'une force qu'en géométrie élémentaire pour démontrer des propriétés sur les angles et les distances ou en algèbre linéaire pour munir un espace vectoriel d'une distance.

Produit scalaire de deux vecteurs en géométrie euclidienne élémentaire

Trigonométrie

En géométrie euclidienne élémentaire, le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow et \overrightarrow est le réel défini par : \overrightarrow . \overrightarrow = AB \times AC \times cos(\widehat) (si AB et AC sont non nuls) ou 0 (sinon) Cette forme est indépendante de l'ordre des vecteurs, on dit qu'elle est symétrique. Elle ne s'annule que lorsque les vecteurs sont orthogonaux et se révèle donc un outil puissant de contrôle d'orthogonalité. Elle est liée à la distance par la relation suivante: : \overrightarrow . \overrightarrow = AB^2 Cette expression est toujours positive et nulle seulement si le vecteur \overrightarrow est nul. On dit que cette forme est définie, positive.

Projeté

Si les points A et B sont distincts, la trigonométrie du triangle rectangle permet de calculer le produit scalaire grâce à une projection orthogonale: si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) , le produit scalaire est alors : : \overrightarrow . \overrightarrow = AB \times AH (Si A n'appartient pas à ) ou \overrightarrow . \overrightarrow = -AB \times AH (sinon) Travail d'une force résistante C'est sous cette forme que le produit scalaire est utilisé pour le travail d'une force lors d'un déplacement : Le travail de la force \overrightarrow F selon le trajet \vec u est \vec u.\overrightarrow F . Dans l'illustration, ce travail est : - AB × AH. C'est sous cette forme aussi que l'on peut démontrer que le produit scalaire est linéaire selon le deuxième vecteur car la projection orthogonale est une application linéaire. : si \overrightarrow = k\overrightarrow alors \overrightarrow = k\overrightarrow : si \overrightarrow = \overrightarrow + \overrightarrow alors \overrightarrow = \overrightarrow + \overrightarrow Ces propriétés se généralisent au cas où les points A et B sont confondus. La forme étant symétrique, elle est aussi linéaire selon le premier vecteur. Le produit scalaire se comporte alors presque comme un produit classique (commutativité, distributivité) permettant ainsi de créer des formules comme les identités remarquables. Il faut cependant prendre garde que ce n'est pas un produit classique car, à deux vecteurs, il associe, non pas un vecteur, mais un réel.

Distance

Les identités remarquables permettent d'établir la formule suivante : \overrightarrow .\overrightarrow = \frac Il suffit pour cela de développer BC^2 = (\overrightarrow - \overrightarrow )^2. On retrouve alors le théorème d'Al-Kashi.

Coordonnées

Dans tout repère orthonormé, le produit scalaire s'exprime de la manière suivante : si \overrightarrow (x ; y ; z) et \overrightarrow (x' ; y' ; z') : \overrightarrow .\overrightarrow = xx' + yy' +zz' Il suffit pour cela d'utiliser la formule précédente en sachant que AB^2 = x^2 + y^2 (+z^2), AC^2 = x'^2 + y'^2 (+z'^2) et BC^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z-z')^2 Cette forme permet de déterminer très rapidement si deux vecteurs sont orthogonaux. Remarque : cette formule, contrairement à la définition, n'est pas valide en base non orthonormée.

Produit scalaire comme une aire

Définition du produit scalaire par les aires. On peut, à la suite de Peano, voir le produit scalaire comme une aire. Si on oriente le plan de x vers y, le produit scalaire des vecteurs x et y est égal à l'aire orientée du parallélogramme construit grâce aux vecteurs y et xr. Le vecteur xr est l'image du vecteur x par une rotation d'angle droit direct. Le produit scalaire peut donc se calculer à l'aide d'un déterminant : : x.y=det(y.xr) . Sous cette forme, peuvent être retrouvées toutes les propriétés de symétrie et de bilinéarité du produit scalaire. Sur le dessin, les parallélogrammes ont été déformés en rectangle de même aire par la propriété de cisaillement. L'aire verte correspond à un produit scalaire positif et l'aire rose à un produit scalaire négatif.

Bilan

Les propriétés définies précédemment font du produit scalaire une forme bilinéaire symétrique définie positive. Par la suite, ce sont ces propriétés qui caractériseront un produit scalaire dans un espace vectoriel quelconque.

Définitions générales

Notation : Deux notations sont en concurrence pour représenter le produit scalaire. On utilise soit la simple barre verticale (\quad |\quad \, ), soit le simple point (\quad \cdot\quad \, ). On trouve aussi les notations inspirées de la mécanique quantique : < | > et < , > . Dans le reste de l'article on utilisera la simple barre verticale.

Produit scalaire dans un espace vectoriel réel

Soit \mathbf un espace vectoriel réel. On dit qu'une application \phi : ::\mathbf \times \mathbf \to \R ::(x, y) \mapsto (x|y) est un produit scalaire si elle est : :
- bilinéaire : \phi est linéaire relativement à chaque argument (l'autre étant fixé). :
- symétrique : \forall x, y \in \mathbf \quad (y|x) = (x|y) :
- strictement positive : \forall x \in \mathbf\setminus\0\ \quad (x|x) > 0 On peut dire "définie positive" au lieu de strictement positive mais il est peu recommandable d'utiliser seul le mot "défini" car il engendre une confusion entre deux notions : celles de forme bilinéaire non dégénérée et celle de forme bilinéaire anisotrope. La définition algébrique de ce paragraphe est, dans le cas d'un espace défini à l'aide d'une géométrie euclidienne, strictement équivalente. En revanche, elle permet de généraliser la définition à des espaces vectoriels de dimensions supérieures, voir infinies. Equivalence des deux définitions Définition du produit scalaire. :
- Définition du propduit scalaire Un produit scalaire est une application de ExE dans le corps des nombres réels. C'est donc une application qui à deux vecteurs associe un nombre. Si \scriptstyle \vec et \scriptstyle \vec sont deux vecteurs, alors il est noté (\scriptstyle \vec|\scriptstyle \vec). Il est bilinéaire, ce qui signifie qu'il est linéaire pour chaque variable. Cette propriété s'exprime, par exemple pour la première variable par les deux propriétés suivantes: :\forall \vec, \vec, \vec \in E \quad (\vec+\vec|\vec)=(\vec|\vec)+(\vec|\vec)\, :\forall \vec, \vec \in E \quad \forall \lambda \in \mathbb \quad (\lambda \vec|\vec)=\lambda (\vec|\vec)\, Il est symétrique, ce qui signifie qu'il est possible d'intervertir les variables sans modification du résultat: :\forall \vec, \vec \in E \quad (\vec|\vec)=(\vec|\vec)\, Il est défini positif, ce qui signifie: :\forall \vec \in E \quad \vec\ne 0 \Rightarrow (\vec|\vec)>0\, Le produit scalaire des vecteurs \scriptstyle \vec et \scriptstyle \vec est défini à partir d'un espace affine euclidien, comme la surface du rectangle vert de la figure ci-contre. Cette figure représente le plan contenant \scriptstyle \vec et \scriptstyle \vec. Le rectangle vert est défini comme ayant pour hauteur la rotation de \scriptstyle \vec d'un quart de tour dans la direction de \scriptstyle \vec et pour base la projection orthogonale de \scriptstyle \vec sur l'axe de direction \scriptstyle \vec. Si l'angle entre \scriptstyle \vec et \scriptstyle \vec est plus petit qu'un quart de tour, alors le produit scalaire est compté positivement. Dans le cas inverse, celui de la figure rouge, il est compté négativement. Cette application est bien définie sur deux vecteurs et associe bien un scalaire. Compatibilité de l'addition Compatibilité de la multiplication La deuxième figure illustre la compatibilité de l'addition avec la première variable du produit scalaire. Le rectangle vert a pour surface le produit scalaire de \scriptstyle \vec avec \scriptstyle \vec, le rectangle bleu a pour surface le produit scalaire de \scriptstyle \vec avec \scriptstyle \vec. La somme des deux surfaces est bien égale à la surface du rectangle orange qui est le produit scalaire de \scriptstyle \vec avec \scriptstyle \vec. En effet, la translation laisse invariante la surface. L'égalité suivante est vérifiée: :(\vec|\vec)+(\vec|\vec)=(\vec|\vec+\vec)\; La troisième figure illustre la compatibilité de la multiplication externe avec la première variable du produit scalaire. Le rectangle violet possède une hauteur égale à celle du triangle vert, et sa base est égale à OD. Les deux triangles OAB et OCD sont semblables il est donc possible d'y appliquer le théorème de Thalès, il démontre que comme OC = λ.OA, alors OD = λ.OB. Sa surface est donc bien multipliée par λ. L'égalité suivante est vérifiée: :(\vec|\lambda \vec)=\lambda (\vec|\vec)\; Symétrie du produit scalaire Pour démontrer la symétrie de l'application, les notations suivantes sont utilisées: ||\scriptstyle \vec|| désigne la longueur d'un vecteur \scriptstyle \vec quelconque, l1 la longueur de la base du rectangle vert de la figure sur la symétrie et l2 la longueur de la base du rectangle rouge. Par définition du produit scalaire, les égalités (1) et (2) sont vérifiées. Les deux triangles OAB et OCD sont semblables car ils sont deux angles en communs. Le théorème de Thalès prouve l'égalité (3), donc: :(1)\; (\vec|\vec)=||\vec||.l_1 \quad (2) \; (\vec|\vec)=||\vec||.l_2 \quad (3) \; \frac||\vec||=\frac||\vec||\quad et\; donc\quad (\vec|\vec)=(\vec|\vec)\; La démonstration de la symétrie démontre en même temps la linéarité par rapport à la première variable puisque la linéarité par rapport à la deuxième variable est déjà établie. Il reste à démontrer que l'application est définie positive . Il suffit de remarquer que (\scriptstyle \vec|\scriptstyle \vec) est la surface d'un carré de coté \scriptstyle \vec. En conséquence, cette surface est positive et n'est nulle que si la longueur de \scriptstyle \vec est nul, c’est-à-dire si le vecteur est nul. La longueur d'un vecteur quelconque \scriptstyle \vec est définie par: ||\vec||=\sqrt(\vec|\vec). Dans ce contexte, le terme de norme d'un vecteur remplace celui de longueur. Et tout espace euclidien contient un produit scalaire qui définit la distance euclidienne, et les angles et les mesures.  

Notation du produit scalaire de deux vecteurs

En géométrie, le produit scalaire de deux vecteurs \overrightarrow et \overrightarrow se note \overrightarrow.\overrightarrow. Cette formule a l'avantage de vérifier l'égalité \overrightarrow.\overrightarrow = AB^2. Cependant, cette notation ressemble trop a une multiplication et par suite a de trop nombreux inconvénients; ainsi, en algèbre, le produit scalaire de deux vecteurs x et y se note (x\mid y). Cette notation est plus compatible avec la nature bilinéaire du produit scalaire.

Produit scalaire dans un espace vectoriel complexe

Pour adapter cette définition aux espaces vectoriels complexes, nous avons besoin de la notion de « semi-linéarité »: Une application f d'un espace vectoriel complexe \mathbf\quad dans \mathbb est dite semi-linéaire si elle vérifie :
-\forall x, y \in \mathbf \quad f(x+y) = f(x) + f(y)
-\forall x \in \mathbf, \forall\lambda \in \mathbb \quad f(\lambda x) = \overline\lambdaf(x) Soit donc maintenant \mathbf un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application \phi : ::\mathbf \times \mathbf \to \mathbb ::(x, y) \mapsto (x|y) est un produit scalaire hermitien (ou simplement un produit scalaire) si elle est : :
- sesquilinéaire : c'est-à-dire ::
- linéaire relativement au second argument (le premier étant fixé) ::
- semi-linéaire relativement au premier argument (le second étant fixé)
:
- symétrique hermitienne : \forall x, y \in \mathbf \quad (y|x) = \overline :
- strictement positive : \forall x \in \mathbf\setminus\0\ \quad (x|x) > 0 On peut dire "définie positive" au lieu de strictement positive. Remarque : la convention de linéarité à droite, semi-linéarité à gauche n'est pas universelle, certains auteurs utilisent la convention inverse.

Exemples

- Dans l'espace \R ^n, on définit le produit scalaire canonique : \big( (x_1, ..., x_n) | (y_1, ..., y_n)\big) = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n.
- Dans l'espace \mathbb C^n, on définit le produit scalaire canonique : \big( (z_1, ..., z_n) | (w_1, ..., w_n)\big) = \barw_1 + \cdots + \barw_n.
- Soit \ E le \R -ev des fonctions continues de l'intervalle dans \R. :L'application \phi : E \times E \to \R , (f, \, g) \mapsto \int_^ f.g\ est un produit scalaire sur E.
- Soit E=C(, \mathbb) le \mathbb -ev des fonctions continues de l'intervalle dans \mathbb, : L'application : \phi : E \times E \rightarrow \mathbb , (f, g) \mapsto (f|g) = \int_^ \bar.g\ est un produit scalaire sur \ E. :Remarque : Si , au lieu de travailler sur des fonctions continues, on travaille sur des fonctions continues par morceaux, la forme bilinéaire construite est bien positive mais n'est pas définie positive : (f|f) = 0 implique que f est nulle sauf sur un nombre fini de points.
- Soit E = M_(\R) le \R -ev des matrices carrées à coefficients dans \R . : L'application : \phi : E \times E \to \R , (A, \, B) \mapsto (A|B) = Tr(A^B) est un produit scalaire (dit canonique). : Remarques : ::si S, \, Asont deux éléments de \ E = M_(\R), respectivement symétrique, antisymétrique, alors \ (S|A) = 0 ::si A \in O_(\R ), alors (A|A)=Tr(^AA)=Tr(I_)=n

Propriétés immédiates et norme

On introduit la norme (dite « euclidienne ») du vecteur x : :: \left| \left| x \right| \right|_2 = \sqrt, ou bien simplement \left| \left| x \right| \right| s'il n'y a pas ambiguïté. Il est aisé de démontrer qu'il s'agit bien d'une norme Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel ou complexe satisfait les deux inégalités fondamentales suivantes
- L' inégalité de Cauchy-Schwarz : : \forall x, y \in \mathbf \quad |(x|y)| \leq ||x||\, ||y||
- L'inégalité de Minkowski : ||x+y|| \leq \ ||x|| + ||y|| Les articles inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité de Minkowski précisent les cas d'égalités.

Orthogonalité et angle dans le cas d'un espace vectoriel réel

On dit que des vecteurs x et y sont orthogonaux si (x|y)=0. On trouvera dans l'article orthogonalité le développement des définitions et propriétés qui accompagnent cette notion : familles et parties orthogonales, théorème de Pythagore. Voir aussi projection orthogonale. L'angle \theta entre deux vecteurs x et y non nuls peut être défini à partir de leur produit scalaire par la formule :(x|y) = ||x||\cdot||y||\cdot\cos \theta En effet, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit |(x|y)| \leq ||x|| \cdot ||y|| donc si ||x|| \cdot ||y|| \neq 0 on a : \left|\frac||x|| \cdot ||y|| \right| \leq 1 i.e. -1 \leq \frac||x|| \cdot ||y|| \leq 1 On peut donc poser : \theta = \arccos\left(\frac||x|| \cdot ||y||\right) Attention : il s'agit d'un angle non orienté. Ce n'est que dans un plan euclidien orienté qu'on sait définir la notion d'angle orienté.

Structures induites par le produit scalaire

- On appelle espace préhilbertien (réel ou complexe) tout espace vectoriel, de dimension finie ou non, muni d'un produit scalaire.
- On appelle espace de Hilbert (réel ou complexe) tout espace préhilbertien complet (en tant qu'espace normé).
- On appelle espace euclidien tout espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
- On appelle espace hermitien tout espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire. On sait que tout espace vectoriel (réel ou complexe) normé de dimension finie est complet. Ainsi, les espaces euclidiens et les espaces hermitiens sont des espaces de Hilbert (respectivement réels, complexes).

Voir aussi

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Sujets connexes
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