Rotationnel du rotationnel

Dans le cadre de l'analyse vectorielle, on peut être amené à calculer le rotationnel d'un rotationnel.

Formule classique en espace plan

La formule classique est : \overrightarrow\mathrm(\overrightarrow\mathrm \vec A) = \overrightarrow\operatorname(\operatorname\, \vec) - \vec\Delta \vec ou \vec\nabla \times \left(\vec\nabla \times \vec\right) = \vec\nabla \left(\vec\nabla \cdot \vec\right) - \vec\Delta \vec L'op%C3%A9rateur laplacien vectoriel \vec\Delta se note également \vec\nabla^2.

Démonstration

On cherche c_n , \ n\in\1, 2, 3\, \ \vec A = (a_1, a_2, a_3) : c_n = _n D'après la définition du produit vectoriel en utilsant le symbole de Levi-Civita et la convention de sommation d'Einstein: c_n = \epsilon_\epsilon_\partial_m \partial_j a_k Comme \mathbf\epsilon_\epsilon_ = \delta_\delta_- \delta_\delta_: c_n = (\delta_\delta_-\delta_\delta_)\partial_m \partial_j a_k c_n = \delta_\delta_\partial_m \partial_j a_k-\delta_\delta_\partial_m \partial_j a_k En remarquant que, pour n'importe quels indices \delta_\partial_j = \partial_n, \delta_\partial_m = \partial_k, \delta_a_k = a_n, \delta_\partial_j = \partial_m, on a : c_n = \partial_n\partial_k a_k - \partial^2_m a_n En remarquant que les indices k et m sont muets par rapport à la sommation, et en tenant compte des définitions du laplacien, de la divergence et du gradient, on a : c_n = _n , ce qui finit la démonstration.

Développement de la démonstration

Soit le champ vectoriel \vec A: \vec A = \begin A_x\\A_y\\A_z \end \ avec \ A_x = f_1(x, y, z), A_y = f_2(x, y, z) \ et \ A_z = f_3(x, y, z) D'après la définition du rotationnel, on a: (Le signe \times désigne le produit vectoriel) \overrightarrow\mathrm \vec A =\vec\nabla \times \vec A = \begin \frac\partial \partial x \\ \frac\partial \partial y \\ \frac\partial \partial z \end \times \begin A_x\\A_y\\A_z \end = \begin \frac\partial A_z\partial y - \frac\partial A_y\partial z \\ \frac\partial A_x\partial z - \frac\partial A_z\partial x \\ \frac\partial A_y\partial x - \frac\partial A_x\partial y \end Donc: \overrightarrow\mathrm(\overrightarrow\mathrm \vec A) = \vec\nabla \times (\vec\nabla \times \vec A) = \begin \frac\partial \partial x \\ \frac\partial \partial y \\ \frac\partial \partial z \end \times \begin \frac\partial A_z\partial y - \frac\partial A_y\partial z \\ \frac\partial A_x\partial z - \frac\partial A_z\partial x \\ \frac\partial A_y\partial x - \frac\partial A_x\partial y \end = \begin (\frac\partial^2 A_y\partial x\partial y - \frac\partial^2 A_x\partial y^2) - (\frac\partial^2 A_x\partial z^2 - \frac\partial^2 A_z\partial x\partial z)\\ (\frac\partial^2 A_z\partial y\partial z - \frac\partial^2 A_y\partial z^2) - (\frac\partial^2 A_y\partial x^2 - \frac\partial^2 A_x\partial x\partial y)\\ (\frac\partial^2 A_x\partial x\partial z - \frac\partial^2 A_z\partial x^2) - (\frac\partial^2 A_z\partial y^2 - \frac\partial^2 A_y\partial y\partial z) \end = \begin \frac\partial^2 A_y\partial x\partial y + \frac\partial^2 A_z\partial x\partial z - \frac\partial^2 A_x\partial y^2 - \frac\partial^2 A_x\partial z^2 \\ \frac\partial^2 A_x\partial x\partial y + \frac\partial^2 A_z\partial y\partial z - \frac\partial^2 A_y\partial x^2 - \frac\partial^2 A_y\partial z^2 \\ \frac\partial^2 A_x\partial x\partial z + \frac\partial^2 A_y\partial y\partial z - \frac\partial^2 A_z\partial x^2 - \frac\partial^2 A_z\partial y^2 \end D'après la définition de la divergence, on a: \mathrm \vec A = \vec \nabla \cdot \vec = \frac \partial A_x \partial x + \frac \partial A_y \partial y + \frac \partial A_z \partial z D'après la définition du gradient, on a: \vec \mathrm(\mathrm \vec A) = \vec \nabla(\vec \nabla \cdot \vec) = \begin \frac \partial^2 A_x \partial x^2 + \frac \partial^2 A_y \partial x\partial y + \frac \partial^2 A_z \partial x\partial z \\ \frac \partial^2 A_x \partial x\partial y + \frac \partial^2 A_y \partial y^2 + \frac \partial^2 A_z \partial y\partial z \\ \frac \partial^2 A_x \partial x\partial z + \frac \partial^2 A_y \partial y\partial z + \frac \partial^2 A_z \partial z^2 \end D'après la définition du laplacien vectoriel, on a: \vec \Delta \vec A = \vec \nabla^2 \vec A = \begin \frac\partial^2 A_x\partial x^2 + \frac\partial^2 A_x\partial y^2 + \frac\partial^2 A_x\partial z^2 \\ \frac\partial^2 A_y\partial x^2 + \frac\partial^2 A_y\partial y^2 + \frac\partial^2 A_y\partial z^2 \\ \frac\partial^2 A_z\partial x^2 + \frac\partial^2 A_z\partial y^2 + \frac\partial^2 A_z\partial z^2 \end Il s'en suit que: \vec \nabla(\vec \nabla \cdot \vec) - \vec \Delta \vec A =\begin \frac \partial^2 A_x \partial x^2 + \frac \partial^2 A_y \partial x\partial y + \frac \partial^2 A_z \partial x\partial z - \frac\partial^2 A_x\partial x^2 - \frac\partial^2 A_x\partial y^2 - \frac\partial^2 A_x\partial z^2 \\ \frac \partial^2 A_x \partial x\partial y + \frac \partial^2 A_y \partial y^2 + \frac \partial^2 A_z \partial y\partial z - \frac\partial^2 A_y\partial x^2 - \frac\partial^2 A_y\partial y^2 - \frac\partial^2 A_y\partial z^2 \\ \frac \partial^2 A_x \partial x\partial z + \frac \partial^2 A_y \partial y\partial z + \frac \partial^2 A_z \partial z^2 - \frac\partial^2 A_z\partial x^2 - \frac\partial^2 A_z\partial y^2 - \frac\partial^2 A_z\partial z^2 \end =\begin (\frac \partial^2 A_x \partial x^2 - \frac\partial^2 A_x\partial x^2) + \frac \partial^2 A_y \partial x\partial y + \frac \partial^2 A_z \partial x\partial z - \frac\partial^2 A_x\partial y^2 - \frac\partial^2 A_x\partial z^2 \\ (\frac \partial^2 A_y \partial y^2- \frac\partial^2 A_y\partial y^2) + \frac \partial^2 A_x \partial x\partial y + \frac \partial^2 A_z \partial y\partial z - \frac\partial^2 A_y\partial x^2 - \frac\partial^2 A_y\partial z^2 \\ (\frac \partial^2 A_z \partial z^2 - \frac\partial^2 A_z\partial z^2) + \frac \partial^2 A_x \partial x\partial z + \frac \partial^2 A_y \partial y\partial z - \frac\partial^2 A_z\partial x^2 - \frac\partial^2 A_z\partial y^2 \end =\begin \frac\partial^2 A_y\partial x\partial y + \frac\partial^2 A_z\partial x\partial z - \frac\partial^2 A_x\partial y^2 - \frac\partial^2 A_x\partial z^2 \\ \frac\partial^2 A_x\partial x\partial y + \frac\partial^2 A_z\partial y\partial z - \frac\partial^2 A_y\partial x^2 - \frac\partial^2 A_y\partial z^2 \\ \frac\partial^2 A_x\partial x\partial z + \frac\partial^2 A_y\partial y\partial z - \frac\partial^2 A_z\partial x^2 - \frac\partial^2 A_z\partial y^2 \end = \vec\nabla \times (\vec\nabla \times \vec A)

Formule en espace courbe

La formule classique n'a plus lieu d'être dans un espace courbe, parce que les opérateurs dérivation covariante successifs d'un vecteur ne commutent pas. La formule est dans ce cas : \left( \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf\right) - \left(\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf\right) - \nabla^2 \mathbf \right)\right)^\alpha = - R^\alpha_\beta A^\alpha où R^\alpha_\beta est le tenseur de Ricci tridimensionnel.

Applications en physique

Considérons les équations de Maxwell dans le vide : \vec\nabla\cdot\vec = 0\qquad(1) \vec\nabla\cdot\vec = 0\qquad(2) \vec\nabla \times \vec = \frac\partial_t \vec\qquad(3) \vec\nabla \times \vec = -\partial_t \vec\qquad(4) Dérivons par t les deux parties de la troisième équation : \vec\nabla \times \partial_t\vec = \frac\partial^2_t \vec En injectant la valeur de \partial_t B de la quatrième équation, on a : - \vec\nabla \times (\vec\nabla \times \vec) = \frac\partial^2_t \vec Ici, on applique le résultat qu'on a démontré plus haut, c.-à-d. \nabla \times (\nabla \times E) = \nabla (\nabla \cdot \vec) - \nabla^2 \vec, mais le premier membre (\nabla (\nabla \cdot \vec)) s'annule, à cause de la deuxième des équations de Maxwell, citée ci-dessus. On a donc : \frac\partial^2_t \vec = -\nabla^2\vec E = - \Delta \vec Analogiquement, en appliquant la même technique pour le champ B on a : \frac\partial^2_t \vec = - \Delta \vec Ce sont des Équations de d'Alembert, qui ont des solutions en ondes planes, qui sont appélés électromagnétiques, et qui se propagent avec une vitesse c (jusqu'ici, on n'a fait aucune hypothèse sur c).

Bibliographie

- Vladimir Dotsenko, , Université Pierre et Marie Curie, 2007. Catégorie:Calcul tensoriel Catégorie:Analyse vectorielle