Distance d'un point à un plan dans l'espace cartésien

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Dans l'espace euclidien, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit le plan P et le point A dans l'espace cartésien. On appelle (x_A, y_A, z_A) les coordonnées du point A et Ax+By+Cz+D=0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, d vaut : d =\frac\left| Ax_A + By_A + Cz_A + D \right|\sqrt Demonstration: Soit H:=(x, y, z) le projeté orthogonal de A sur P Soit N:=(A, B, C) un vecteur normal à P. On a \overrig
Distance d'un point à un plan dans l'espace cartésien

Dans l'espace euclidien, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit le plan P et le point A dans l'espace cartésien. On appelle (x_A, y_A, z_A) les coordonnées du point A et Ax+By+Cz+D=0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, d vaut : d =\frac\left| Ax_A + By_A + Cz_A + D \right|\sqrt Demonstration: Soit H:=(x, y, z) le projeté orthogonal de A sur P Soit N:=(A, B, C) un vecteur normal à P. On a \overrightarrow=\lambda.\vec N et H \in P donc on peut écrire (en termes de composantes): (x-x_A;y-y_A;z-z_A)=\lambda(A;B;C) Ceci revient à résoudre le système suivant: \begin x=\lambda A+x_A \\ y=\lambda B+y_A \\ z=\lambda C+z_A \\ Ax+By+Cz+D=0 \end La substitution de x, y et z dans la 4ème équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire: A(\lambda A+x_A)+B(\lambda B+y_A)+C(\lambda C+z_A)+D=0. Ou encore: Ax_A+By_A+Cz_A+D + \lambda(A^2+B^2+C^2)=0. P étant un plan, A, B, C ne sont pas tous nuls: on a \lambda = - \frac Or, la distance de A à P, n'est autre que la longueur du vecteur \overrightarrow; donc: d:=AH=\left| \lambda \right| \begin \vec N \end d= \left| \frac \right| \sqrt d =\frac\left| Ax_A + By_A + Cz_A + D \right|\sqrt Ceci termine la preuve.

Voir aussi

- La notion de distance en mathématiques
- la projection orthogonale Catégorie:Distance et longueur
Sujets connexes
Distance (mathématiques)   Espace euclidien   Mathématiques   Projection orthogonale  
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