Degré (mathématiques)

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De manière générale, un degré indique un incrément, une quantité définie qui s'ajoute. On parle des degrés d'une échelle ou d'un escalier pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d'une quantité donnée à chaque pas).
Degré (mathématiques)

De manière générale, un degré indique un incrément, une quantité définie qui s'ajoute. On parle des degrés d'une échelle ou d'un escalier pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d'une quantité donnée à chaque pas).

Polynômes et fractions

Degré d'un polynôme

À une indéterminée

Soit A un anneau. L'anneau des polynômes à une indéterminée sur A est A Soit P \in A. Le degré de P, noté \deg(P) ou d^\circ(P) est défini par :
- Si P=0, \deg(P) = -\infty
- Sinon, pour P = a_n X^n + a_ X^ + ... + a_1 X + a_0 , on définit : \deg(P)= \sup \n \in \N, a_ \ne 0 \ Par exemple, \deg(3X^5-2X^4+8X-2)=5

À plusieurs indéterminées

Soient A un anneau et n \in \N. L'anneau des polynômes à n indéterminées sur A est A Le degré du polynôme nul est toujours -\infty. Sinon on considère l'ensemble des « sommes des exposants des indéterminées » dans chaque terme. Le degré du polynôme est alors le plus grand élément de cet ensemble. Par exemple : dans A, \deg(X^2 Y^2 + 3X^3 + 4Y) = 4

Degré d'une fraction rationnelle

Soit A un anneau commutatif, unitaire, intègre. Le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur A est A(X). Soit F \in A(X). Il existe N \in A et D \in A \setminus \ 0 \ tel que F=\tfrac. La grandeur \deg(A)-\deg(B) \in \mathbb Z \cup \-\infty\ est indépendante du représentant \tfrac choisi pour F. On définit alors \deg(F)= \deg(A)-\deg(B), noté \deg(F) ou d^\circ(F).

Propriétés du degré

-\forall (P, Q) \in (A(X))^2, \deg(P+Q)\leq \sup \\deg(P) , \deg(Q) \
-Si A est intègre, \forall (P, Q) \in (A(X))^2, \deg(PQ)=\deg(P) + \deg(Q)

Graphe et sommet

En théorie des graphes, le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes issues de ce sommet.

Voir aussi

- Degré d'une application Catégorie:Polynôme Catégorie:Algèbre en:Degree (mathematics) es:Grado (matemática) qu:K'atma
Sujets connexes
Anneau commutatif   Degré d'une application   Fraction rationnelle   Polynôme   Théorie des graphes  
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